Question

函数y=sinx/x,x属于[π/4,5π/6]的最大值与最小值的和______

Answer 1

y=sinx/x这个函数求导为y=（cosx-sinx）/x²
在[π/4,5π/6]内cosx-sinx＞0
所以y=（cosx-sinx）/x²＞0
所以函数y在[π/4,5π/6]内单调递增
所以最大值为当x=5π/6时，y=3/5π;
最小值为当x=π/4时，y=2根号2/π；

Answer 2

求导函数 Y'=(X*cosX-SinX)/X*X 也等于(X-tanX)/(cosx*X^2),
当X=π/4 时 知 Y'<0

令 U(x)=X-tanX , 求导 U'= (cosx*cosx -1)/(cosx*cosx),易知 x属于[π/4,π/2] 时 U'<0, 这说明 Y' 在 [π/4,π/2]为减函数
所以 Y'在[π/4,π/2]内 小于零 （当X=π/4 时 知 Y'<0）

根据 Y'=(X*cosX-SinX)/X*X 容易判断 Y'在[π/2,π5/6]内 也小于零（因为cosX<0)

所以 Y'在 条件区间内 恒小于零， 可知 题中的函数 在条件区间内是减函数
X=π/4时 y有最大值
X=5π/6时 y有最小值
代入 可得所求
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