Question

若∑an^2收敛，∑an/n收敛吗？（an不一定是正项级数）证明或举反例

若∑an^2收敛，∑an/n收敛吗？（an不一定是正项级数）证明或举反例

Answer 1

若∑an^2收敛，则∑an/n绝对收敛。

证明：首先记M=∑1/n^2（事实上=π^2/6）。
由Cauchy收敛准则，对任意ε>0 ，总存在N>0，使得任意N<n1<n2有
∑{n1<=n<=n2} an^2<ε^2/M。
所以由Cauchy不等式，
(∑{n1<=n<=n2} |an/n|)^2
=[∑{n1<=n<=n2} |an|*(1/n)]^2
<=(∑{n1<=n<=n2} an^2)(∑{n1<=n<=n2} 1/n^2)
<(ε^2/M)(∑{1<=n<∞} 1/n^2)
=(ε^2/M)*M=ε^2，
所以
∑{n1<=n<=n2} |an/n|<ε。
再由Cauchy收敛准则可知∑|an/n|收敛，即∑an/n绝对收敛。