Question

数学基础数列问题，紧急求助

已知函数f(x)=px+1(p为常数)。问题一：若点（1，2）（An,An+1）(n属于正整数)都在函数f(x)的图像上，证明：数列[An]为等差数列；
问题二：若点（2的n次方，Bn+N）在函数f(x)的图像上，求数列（Bn）的前n项和Sn.

Answer 1

函数f(x)=px+1(p为常数)。问题一：若点（1，2）（An,An+1）(n属于正整数)都在函数f(x)的图像上，证明：数列[An]为等差数列；
证明:
坐标(1,2)代入得:2=p+1,p=1
故f(x)=x+1.
所以有:A(n+1)=An+1
即A(n+1)-An=1
所以,{An}是一个等差数列.

问题二：若点（2的n次方，Bn+N）在函数f(x)的图像上，求数列（Bn）的前n项和Sn.

可得:Bn+n=2^n+1
即Bn=2^n-n+1
Sn=B1+B2+...+Bn
=(2^1+2^2+....+2^n)-(1+2+....+n)+(1+1+...+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-(1+n)n/2+n
=2(2^n-1)-1/2(n^2+n)+n
=2^(n+1)-2-1/2(n^2-n)

Answer 2

1、
f(1)=2
所以2=p+1
p=1
f(x)=x+1
所以f(An)=A(n+1)
A(n+1)=An+1
A(n+1)-An=1
后一项减前一项是个常数
所以An是等差数列

2、
f(2^n)=bn+n
所以2^n+1=bn+n
bn=2^n+1-n
所以Sn
=(2^1+2^2+……+2^n)+(1+1+……+1)-(1+2++……+n)
=2^1*(2^n-1)/(2-1)+n-n(n+1)/2
=2^(n+1)-(n²-n+4)/2

Answer 3

f(1)=p+1=2,p=1
f(An)=An+1=An+1
可以证得

Bn+N=2的n次方+1
Bn=2的n次方+1-N
Sn=2的n次方-1+n-n（n+1）/2(三部分和）

（不知道Bn+N有没理解错，你写的不是很清楚哦）

Answer 4

(1,2)在函数上，所以P＝1
（An,An+1）在函数上，说明An+1-An=X+1-X=1
所以是等差数列

2^n*p+1=Bn+N
所以Bn+N－(Bn-1+N-1)=Bn-Bn-1+1=2^n-1*p
B2-B1+1=3p.......
剩下很简单了

Answer 5

1、（1,2）在图像上，所以2=p*1+1，所以p=1，所以f(x)=x+1。又(An,An+1)在图像上，所以A(n+1)=An+1，显然An是等差数列。

2、(2^n,Bn+N)在图像上，即Bn+N=2^n+1，所以Bn=2^n+1-n，所以前n项和（假设n从1开始）Sn=2^(n+1)-2+n-n*(n+1)/2。