Question

高数题 请大家知道一二

判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误请举出反例。
（1）若limf(x)不存在，limg(x)不存在，那么lim[f(x)+g(x)]一定不存在。
（2）若limf(x)不存在，limg(x)存在，那么lim[f(x)+g(x)]一定不存在。
（3）若limf(x)=0，limg(x)=0，则limg(x)/f(x)一定不存在。

Answer 1

下次要别人回答得给点分啥，不能老吃白食哦。。。
（1）是错的。假设f(x)为这样一个函数，当x为有理数的时候，取值1，当x为无理数的时候为0。g(x)是当x为有理数的时候取值-1，而为无理数的时候也取0，则limf(x)不存在，limg(x)不存在，但是lim[f(x)+g(x)]存在。
（2）是对的。如果lim[f(x)+g(x)]存在，且limg(x)存在，那么lim(-g(x)也是存在的，但是f(x) = f(x)+g(x)-g(x),从而limf(x)也存在，矛盾。从而lim[f(x)+g(x)]一定不存在。
（3）是错的。当x趋于0时，limsinx=0,limx=0,但是lim(sinx/x)=1存在。

Answer 2

1、错误。例如f(x)+g(x)=0的时候。
2、正确。证明比较繁琐，忽略。
3、错误。例如f(x)=x，g(x)=x^2。