数学分析不等式证明
证：对每个自然数n成立：(1+1/n)^n＞(∑1/k!)-e/(2n)。其中∑是对k从0到n求和。似乎要将不等式左边展开，再用辅助不等式：(1-1/2)(1-1/3)....
证：对每个自然数n成立：(1+1/n)^n＞(∑1/k!)-e/(2n) 。
其中∑是对k从0到n求和。似乎要将不等式左边展开，再用辅助不等式：(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)＞1-1/2-1/3-...-1/k 。我不得要领，望高手解答，不胜感激！
数学归纳法不妨试试，不过那个字母e有些烦人，e=2.718281828...归纳法倒是很难， 电灯剑客说的很正确，我后来这样做了，我先证明了：xln(1+1/x)＞1+ln(1-1/(2x))，x≥1。记y=1/x，则0＜y≤1，记f(y)=ln(1+y)-y+y^2/2，求导知f严格单增，f(y)＞f(0)=0,故有ln(1+1/x)＞1/x-1/(2x^2)＞0，xln(1+1/x)＞1-1/(2x)。又由ln(1-1/(2x))的幂级数展开知(显然x≥1时级数收敛到ln(1-1/(2x)))：ln(1-1/(2x))＜-1/(2x)-1/8x^2，故1+ln(1-1/(2x))＜1-1/(2x)-1/8x^2＜1-1/(2x)＜xln(1+1/x)，故(1+1/x)^x＞e(1-1/(2x))，x≥1，从而：(1+1/n)^n＞e(1-1/(2x))＞(∑1/k!)-e/(2n) 。证必。证明中我没有用到中值定理... 展开
其中∑是对k从0到n求和。似乎要将不等式左边展开，再用辅助不等式：(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)＞1-1/2-1/3-...-1/k 。我不得要领，望高手解答，不胜感激！
数学归纳法不妨试试，不过那个字母e有些烦人，e=2.718281828...归纳法倒是很难， 电灯剑客说的很正确，我后来这样做了，我先证明了：xln(1+1/x)＞1+ln(1-1/(2x))，x≥1。记y=1/x，则0＜y≤1，记f(y)=ln(1+y)-y+y^2/2，求导知f严格单增，f(y)＞f(0)=0,故有ln(1+1/x)＞1/x-1/(2x^2)＞0，xln(1+1/x)＞1-1/(2x)。又由ln(1-1/(2x))的幂级数展开知(显然x≥1时级数收敛到ln(1-1/(2x)))：ln(1-1/(2x))＜-1/(2x)-1/8x^2，故1+ln(1-1/(2x))＜1-1/(2x)-1/8x^2＜1-1/(2x)＜xln(1+1/x)，故(1+1/x)^x＞e(1-1/(2x))，x≥1，从而：(1+1/n)^n＞e(1-1/(2x))＞(∑1/k!)-e/(2n) 。证必。证明中我没有用到中值定理... 展开
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提示一下，左边用Taylor中值定理来估计e^{1/n}，右边直接放大到e(1-1/(2n))。
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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