Question

设f1,f2为双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点，点p在双曲线上满足角f1pf2=90度。求三角形f1pf2面积

详细过程

Answer 1

由x²/4-y²=1，

顶点（-2，0）和（2，0），

由c²=a²+b²=4+1=5，C=√5，

∴焦点F1（-√5，0），F2（√5，0）

当∠F1PF2=90°时，

P点为圆x²+y²=5与x²/4-y²=1的交点，

P在四个象限各有一个交点，

由x²/4-y²=1（1）

x²+y²=5（2）

（1）+（2）得：5x²/4=6，

∴x²=24/5，

y²=1/5.

∴x=2√30/5，y=√5/5，

所以有4个符合条件的P点，

S△F1PF2不变。

S△F1PF2=1/2×|F1-F2|×y

=1/2×2√5×√5/5

=1.

Answer 2

a²=4
b²=1
c²=a²+b²=5
F1F2=2c=2√5

令PF1=p,PF2=q
则双曲线定义
|p-q|=2a=4
p²-2pq+q²=16
勾股定理
p²+q²=F1F2²=20
所以2pq=20-16=4
所以面积=pq/2=1