Question

高中数学

1、锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=2asinB.
(1)求角A的大小
（2）若a=2，求三角形的面积的最大值
2、在三角形ABC中，sin(C-A)=1,sinB=1/3。
（1）求sinA的值
（2）设AC=根号6，求三角形ABC的面积

Answer 1

1．
(1)因为b=2asinB，由正弦定理b/sinB=a/sinA,得sinA=1/2，A＝π/6；
(2)因为a=2，设a边上的高为h，S⊿ABC=h
当a为定长，A＝π/6时，h最大时，此三角形必为以a 为底边的等腰三角形，所以
h=tan(5π/12)= tan(π/4+π/6)= [tan(π/4)+tan(π/6)]/[1-tan(π/4)×tan(π/6)]=(3+根3)^2/6
即，三角形的面积的最大值为(3+根3)^2/6；
2．
(1)因为sin(C-A)=1,所以C-A=π/2
又sinB=1/3
SinB=sin(π-A-C)= sin(π/2-2A)=cos2A=1-(2sinA)^2=1/3
所以，sinA=根3/3
(2)设AC=根号6
AC/sinB=3根6=BC/sinA，则BC=3根2
所以，S⊿ABC=1/2AC×BCsin(A+B)=1/2 AC×BC(sinAcosB+cosAsinB)
因为sinB=1/3，所以cosB=2根2/3；因为sinA=根3/3，所以cosA=根6/3
将以上计算的AC，BC，sinA，cosB，cosA，sinB代入得3根2

Answer 2

1.
由正弦定理得sinB=2sinBsinA
sinA=1/2
A为锐角
A＝30度
4＝b^2+c^2-2bcsin30=b^2+c^2-bc>=bc
S<=1/2bcsinA=1
此题是安徽省09高考题
sin(C-A)=1,sinB=1/3。
C-A=90度
A+B+C=180
2A+B=90
2A=90-B
cos2A=sinB
1-2sinA^2=1/3
sinA=√3/3
b/sinB=a/sinA
a=3√2
sinC=cosA=√6/3
S=(1/2)*(3√2)√6*(√6/3)
=3√2

Answer 3

(1)b=2asinB==>b:sinB=a:(1/2)==>sinA=1/2
又△ABC为锐角三角形==>A=30°

(2)S△ABC=1/2·b·c·sinA=1/4·bc

cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc=√3/2==>b/c+c/b=√3+4/bc

而b/c+c/b>=2，当且仅当b=c时取等号

此时bc=4/（2-√3）=4（2+√3）

S=1/4·4（2+√3）=2+√3

2.(1)sinB=sin(A+C)=1/3,sin(C-A)=1==>cos(C-A)=0,C-A=π/2,cos(A+C)<0,cos(A+C)=-2√2/3
cos2A=cos((A+C)-(C-A))=0+1/3=1/3=1-2sin^2A==>sinA=√3/3

(2)由b:sinB=a:sinA得到a=3√2
sinA=√3/3，A<C==>sinC=cosA=√6/3

S△ABC=1/2·a·b·sinC=3√2·√6/3·√6·1/2=3√2