Question

已知函数f(x)=(2ax-a2+1)/(x2+1) (x 属于R)，当a不等于0时，求函数f(x)的单调区间与极值

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Answer 1

导数求解 f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1) ,当a≠0时，求 f(x)的单调区间与极值
解析：∵f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1)
令f’(x)=(-2ax^2+2(a^2-1)x+2a)/(x^2+1)^2=0
ax^2-(a^2-1)x-a=0
x1=[(a^2-1)-(a^2+1)]/(2a)=-1/(2a)
x2=[(a^2-1)+(a^2+1)]/(2a)=a
当a<0时，x2<x1，-2ax^2+2(a^2-1)x+2a为开口向上的抛物线，函数f(x)在x1处取极小值，
f(x1)=-4a^4/(4a^2+1)，在x2处取极大值f(x2)=1；
x∈(-∞,a)，函数f(x)单调增，x∈(a，-1/(2a))，函数f(x)单调减，x∈(-1/(2a)，+∞)，函数f(x)单调增；
当a>0时，x1<x2，-2ax^2+2(a^2-1)x+2a为开口向下的抛物线，函数f(x)在x1处取极小值f(x1)=-4a^4/(4a^2+1)，在x2处取极大值f(x2)=1；
x∈(-∞, -1/(2a))，函数f(x)单调减，x∈(-1/(2a)，a)，函数f(x)单调增，x∈(a，+∞)，函数f(x)单调减；