Question

如何解一元二次方程根与系数关系中的根是整数问题

Answer 1

一、巧用判别式：即用根的判别式确定字母或根的范围
二、利用根与系数的关系：
由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式，从这两式中消去待定字母，然后再通过分解因式和整数性质便可求解。
三、主元分析法：
若待定字母 是整数，且指数为一次，可把原方程整理成关于这个字母的一次方程，通过对方程解的四、因式分解：
四、因式分解：
利用因式分解法求出方程的根，进一步利用整数性质分析求解。
五、分析等式：
把给定方程看作等式，从等式两边数式意义来分析求解。
六、构造等式：
根据方程两边的数式结构和意义构造出新的等式，将此等式变形确定出字母范围。
七、奇偶分析：
先用根与系数的关系由待定字母表示出两根和、积式，或求出用待定字母表示的两根，然后通过对根和字母奇偶性的分析确定出其值。

Answer 2

一元二次方程形如：ax^2+bx+c=0
它的两个根是x1、x2，韦达定理说的是：
x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
因此，容易证明：
定理一：一元二次方程根为整数的必要条件，是b/a、c/a为整数。

同时，方程的根=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac
[-b±√(b^2-4ac)]/2a
={-(b/a)±√[(b/a)^2-4(c/a)]}/2
可以得出：
定理二：一元二次方程根为整数的充要条件，要么Δ=0，要么(b/a)^2-4(c/a)为平方数并且c/a是偶数。

涉及的题型有两种：
1、已知根是整数，求证系数的性质
定理一和定理二告诉我们一元二次方程根是整数的情况下系数的性质，在这个基础上就可以展开推理了。
2、已知系数，求证根是否整数。
直接运用定理一和定理二加以检验就可以了。

例一：试证明2x^2+kx+k+1=0没有整数解（k是整数）。
分析：用反证法转化为“已知根为整数，求证系数”的题型。
证明：假设原方程有整数解，那么根据定理一，2必须整除k和k+1，但k是偶数时k+1是奇数，不能被2整除，矛盾，假设不成立，所以原方程没有整数解。

例二：若x^2+kx+8=2k^2-1的解是整数，求a的值。
解：原方程变形为x^2+kx+9-2k^2=0
因9-2k^2为奇数，根据定理二，只有Δ=0
k^2-4(9-2k^2)=0
k^2=4
k=±2