Question

如何证明|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2)

如何证明|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2)？
这是个向量证明题，我要详细过程，并请问这个内容应该是在哪一节学习的？谢谢！

Answer 1

这个应该是在向量内积那块，因为|a|^2=a·a

|a+b|^2+|a-b|^2 = (a+b)·(a+b) + (a-b)·(a-b)
=a·a + 2a·b + b·b + a·a - 2a·b + b·b
=2(a·a + b·b)
=2(|a|^2+|b|^2)

这个的几何意义就是平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和

Answer 2

|a+b|^2+|a-b|^2=(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)=2(|a|^2+|b|^2

注意这里用到了向量的数量积（内积）的运算性质：a^2=|a|*|a|cos0=|a|^2

这个内容肯定是在向量的数量积（内积）里学的，这个的几何意义就是平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和，还有其它证明方法。

Answer 3

1. 实际上，考虑到模值和数字平方的非负性，有|X|……2=X……2.令X=a+b得证。