Question

点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点

点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为1/8c，则双曲线的离心率e的范围是

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Answer 1

设P点为P（x0,y0）,则M点坐标为M(（x0 +c）/2,y0/2),由MO=c/8,可得 16（x0+c）^2+16y0^2=c^2, 此式 记为(1 ) ; 又P在双曲线上，把P（x0,y0）,代入方程 ，解出y0=b^2(x0^2/a^2-1)=(c^2-a^2)(x0 ^2/a^2-1), 再把y0代入（1），整理得： 16c^2*x0^2+32 a^2*cx0+16a^4-c^2*a^2 =0, (2) 此为关于x0的二次方程，又P在左支，故 存在<=-a的根 两根不能均<-a,否则两根之和-2a^2/c<-2a ,化简可得a/c>1,即e<1,矛盾， 故只能一根大于-a,一根<=-a, 故把x0=-a代入（2）的左边，其结果必< =0，代入化简 即15c^2-32ac+16a^2<=0,两边同除a^2 得 15e^2-32e+16<=0 (3e-4)(5e-4)<=0 4/5<=e<=4/3,又e>1,故e属于( 1, 4/3]