Question

如何证明平行线的判定方法和性质

我们学的是平行线的判定方法和性质不是由平行公理等基本公理推导出来的而是由测量出来的.平行线判定方法我们老师是叫我们测量,然后得出"同位角相等,两直线平行",还有"两直线平行,同位角相等".然后根据这两个公理推导出平行线的另外两个判定方法和性质,进而退出三角形内角和等东西.但是我知道在这里实际山是把第一个判定方法和性质当做公理了,但是欧几里得的十个公理中没有这两条公理,因此如何根据那十条公理推导出这两条命题.
注意:如果要用到第五公设,请使用现在的等价命题即平行公理"过一点有且只有一条直线与已知直线平行",我知道原本中的推导过程,但我想使用现在的平行公理推导.
我说的是使用欧几里得的平行公理(两直线平行,有且只有一条直线与已知直线平行)进行逻辑推理证明"同位角相等,两直线平行"以及"两直线平行,同位角相等"
一楼似乎没给出推理的过程.
平行线判定方法和平行线的性质就是定理,是可以通过欧几里得那十条公理推导出来的.

Answer 1

平行线的————

判定：      

      条件：公设5（同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在截线的同侧两个内角之和小于两倍的直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交）

      定义5（当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线）

      和定义23（平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线）

      因为当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线

      所以一个平角等于两倍的直角

      且两对截线同侧的内角是两个“一条直线和另一条直线交成邻角”

      所以两条线平行线被第三条线所截的四个内角角的总和为两倍的平角

      作两条线平行线被第三条线所截

      假设截线的同侧的两个内角之和小于两倍的直角（即同旁内角之和小于180度），则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

      因为平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

      所以假设不成立

      所以两对截线同侧的内角和均不小于两直角

      假设截线的一侧的两个内角之和大于两倍的直角

      所以另一侧小于两倍的直角，

      所以这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

      因为平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

      所以假设不成立

      所以两对截线同侧的内角和均不大于两直角

      

      因为{两对截线同侧的内角和均不小于于两直角，两对截线同侧的内角和均不大于两直角}

      所以两对截线同侧的内角和均等于两直角

      即同旁内角互补，两直线平行

性质： 

     条件：同位角相等两直线平行

     

     假如a//b,c//b时，a不平行c

     则a与c相交于A

     因为b//a

     所以b与c相交

     与b//c相矛盾

     所以假设不成立

     所以a//c

     即平行于同一条直线的两条直线平行

     

     又如图：

     作一条直线a截两条互相平行的直线b,c

     假设过O有另一条直线d与直线c的同位角相等

     因为同位角相等两直线平行

     所以直线d平行于直线c

     

     因为平行于同一条直线的两条直线平行

     所以d与b重合

     所以b与c的同位角相等

     即两直线平行，同位角相等

Answer 2

这是判定平行线
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：
1.同位角相等两直线平行
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：
2.内错角相等两直线平行
3.同旁内角相等两直线平行
这个是平行线的性质
一般地，如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
也可以简单的说成：
1.两直线平行，同位角相等
2.两直线平行，内错角相等
3.两直线平行，同旁内角互补

Answer 3

哥们，要知道什么是公理，公理是大家公认的对的东西。是不需要证明的。如果可以证明的话，就是定理了。

Answer 4

我也在想这一问题，我已经不记得这是定理还是公理了，若是公理就无问题了