Question

已知a的4次方加b的四次方加c的四次方加d的四次方等于4abcd，求证这个四边形是菱形

a.b.c.d.是四边形的四条边

Answer 1

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2=2abcd-2a^2b^2+2abcd-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=2ab(cd-ab)+2cd(ab-cd)
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=2ab(cd-ab)-2cd(cd-ab)
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=(2ab-2cd)(cd-ab)
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
因为(a^2-b^2)^2≥0，(c^2-d^2)^2≥0，-2(ab-cd)^2≤0
仅有当(a^2-b^2)^2=0，(c^2-d^2)^2=0，-2(ab-cd)^2=0时等式成立
a=b,c=d,ab=cd
所以a=b=c=d
这个四边形是菱形

Answer 2

由柯西不等式a^4+b^4+c^4+d^4》4abcd 当a=b=c=d 时 等号成立
所以a=b=c=d 四边形为棱形

Answer 3

求证a=b=c=d

[a`4+b`4]+[c`4+d`4]>=2[ab]`2+2[cd]`2>=2[2abcd]=4abcd

有且仅有a=b=c=d算式成立