摸准命题规律的“七寸”,考研高等数学不是难点
万学海文全国硕士研究生入学统一考试数学考试的科目包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计(其中数学二对概率论与数理统计不做要求)。在数学一、数学三的试卷中,三科所占的比重...
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全国硕士研究生入学统一考试数学考试的科目包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计(其中数学二对概率论与数理统计不做要求)。在数学一、数学三的试卷中,三科所占的比重分别为56%、22%、22%。在数学二试卷中,高等数学和线性代数分别占78%和22%的比例。不难看出,高等数学在考研数学中举足轻重的地位。对于现已进入备战2011状态的广大考生而言,只要找出高数的特点,针对这些特点高效地组织复习,能取得理想的成绩不是难事。
命题特点是复习计划制定的根本,就像是治病需要对症下药一样。考研出题者年年都会在命题上想要有所创新,但是总归是“万变不离其宗”,变来变去考察的还是我们熟悉的知识点,只是考察的方式变换。所以,掌握了命题规律是完全可能并且可行的,基于考研命题规律有针对性地制定复习计划、展开复习,这样比盲目复习效果好得多。海文考研 万学海文 展开
全国硕士研究生入学统一考试数学考试的科目包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计(其中数学二对概率论与数理统计不做要求)。在数学一、数学三的试卷中,三科所占的比重分别为56%、22%、22%。在数学二试卷中,高等数学和线性代数分别占78%和22%的比例。不难看出,高等数学在考研数学中举足轻重的地位。对于现已进入备战2011状态的广大考生而言,只要找出高数的特点,针对这些特点高效地组织复习,能取得理想的成绩不是难事。
命题特点是复习计划制定的根本,就像是治病需要对症下药一样。考研出题者年年都会在命题上想要有所创新,但是总归是“万变不离其宗”,变来变去考察的还是我们熟悉的知识点,只是考察的方式变换。所以,掌握了命题规律是完全可能并且可行的,基于考研命题规律有针对性地制定复习计划、展开复习,这样比盲目复习效果好得多。海文考研 万学海文 展开
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2011年考研数学指导:线性代数复习技巧
对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大的帮助。万学海文考研辅导专家为广大考研学子总结出以下几个技巧:海文考研 万学海文
一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。 海文考研 万学海文
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…αm)与B=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~B�A�B,即相似是合同的充分条件。海文考研 万学海文
线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 海文考研 万学海文
二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。海文考研 万学海文
例如:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有 r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数。再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。海文考研 万学海文
又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b的惟一解;可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量α1,α2,…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否为零来判断向量组的线性相关性;矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)<r,则A中r阶子式全为0;求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,则行列式|λ0E-A|=0; 判断二次型xTAx的正定性,可以用顺序主子式全大于零。
凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 海文考研 万学海文
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。海文考研 万学海文
线性代数中常见的证明题型有:证|A|=0;证向量组α1,α2,…αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。 海文考研 万学海文
总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通的,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到融会贯通。海文考研 万学海文
对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大的帮助。万学海文考研辅导专家为广大考研学子总结出以下几个技巧:海文考研 万学海文
一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。 海文考研 万学海文
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…αm)与B=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~B�A�B,即相似是合同的充分条件。海文考研 万学海文
线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 海文考研 万学海文
二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。海文考研 万学海文
例如:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有 r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数。再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。海文考研 万学海文
又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b的惟一解;可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量α1,α2,…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否为零来判断向量组的线性相关性;矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)<r,则A中r阶子式全为0;求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,则行列式|λ0E-A|=0; 判断二次型xTAx的正定性,可以用顺序主子式全大于零。
凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 海文考研 万学海文
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。海文考研 万学海文
线性代数中常见的证明题型有:证|A|=0;证向量组α1,α2,…αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。 海文考研 万学海文
总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通的,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到融会贯通。海文考研 万学海文
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我参加了2010年的研究生入学考试,回顾这一年的学习生活,我知道这又是一次对我的考验,但我觉得自己克服了困难,也有了自己的收获。
数学基础不好是最大的困难,很多人给我的意见就是要借助外力解决自己的问题,我就先从数学入手,在自己自学的同时也向身边的老师、同学请教,但是总感觉听的不是很明白,问题还是得不到解决。后来我听了一次海文的宣讲会才知道,我很努力,但我的方向错了,学校里的老师对考研知识点能了解多少呢?最后我选择了海文的一个全年课程。
考研学习中,刘西垣老师讲课思路清晰,知识框架全面,并能很好地把握考研的重难点知识点,使我节省了很多的复习时间。刘西垣对高等数学的深度解析,让我对知识点的理解和考查重点有了更明确的了解。我在解题方面也学到了很多的技巧。
课后我认真地对课堂讲义再做研究,发现很多原来没有思路的题,在刘老师的方法指导下都能有比较清晰的解题思路,并能在较短的时间内解答完成。我学的是数二,高等数学部分所占的比重比较大,现在对高数部分能理解的这么充分,也对考研数学的整张卷纸有了更大的信心。
我感谢海文所有的老师,更感谢刘西垣老师,让我的数学水平有了这么大的提高。
数学基础不好是最大的困难,很多人给我的意见就是要借助外力解决自己的问题,我就先从数学入手,在自己自学的同时也向身边的老师、同学请教,但是总感觉听的不是很明白,问题还是得不到解决。后来我听了一次海文的宣讲会才知道,我很努力,但我的方向错了,学校里的老师对考研知识点能了解多少呢?最后我选择了海文的一个全年课程。
考研学习中,刘西垣老师讲课思路清晰,知识框架全面,并能很好地把握考研的重难点知识点,使我节省了很多的复习时间。刘西垣对高等数学的深度解析,让我对知识点的理解和考查重点有了更明确的了解。我在解题方面也学到了很多的技巧。
课后我认真地对课堂讲义再做研究,发现很多原来没有思路的题,在刘老师的方法指导下都能有比较清晰的解题思路,并能在较短的时间内解答完成。我学的是数二,高等数学部分所占的比重比较大,现在对高数部分能理解的这么充分,也对考研数学的整张卷纸有了更大的信心。
我感谢海文所有的老师,更感谢刘西垣老师,让我的数学水平有了这么大的提高。
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真是精华,考研数学就是这样万变不离其宗
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⊙﹏⊙b汗
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