Question

把f(x,y) 形成的二次积分化为极坐标形式的二次积分

把f(x,y) 形成的二次积分化为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D为
（1）x^2+y^2<=9;(2)1<=x^2+y^2<=4;(3)x^2+y^2<=2x.

要具体过程，具体具体~~

Answer 1

d
为圆
(x-1)^2+(y-1)^2=1
的内部，这个圆与x轴相切于点(1,0)，与y轴相切于点(0,1)，圆内所有点均在第一象限内。
两个切点(1,0)与(0,1)是边界点，幅角a的范围是0到π/2，而极半径r应该被限制在圆内，即介于圆的左下1/4圆弧和右上3/4圆弧之间。具体方程解不等式：(x-1)^2+(y-1)^2≤1。
有
x^2+y^2-2x-2y+1
r^2
-
2(sin
a
+
cos
a)r+1所以
sin
a
+
cos
a
-
sqrt(
sin(2a)
)
最后，积分化为
∫∫d
f(x,y)dxdy
=
∫∫d
f(x,y)da
rdr
=
∫_(0

Answer 2

被积分函数的不用管了吧
都是
∫∫f(rcosθ，rsinθ）rdrdθ

1. 代入x=rcosθ，y=rsinθ
则，r<=3,则区域边界为r=3.
整个圆，则
0<=r<=3,0<=θ<=2π

2。为一个圆环，根据前一个的结论，可知
1<=r<=2,0<=θ<=2π

代入x=rcosθ，y=rsinθ
则，r^2<=2rcosθ,则区域边界为r<=2cosθ.
从图中，可以看出，最大极角为π/2,最小为-π/2
而θ从（-π/2,π/2)
0<=r<=2cosθ,-π/2<=θ<=π/2

Answer 3

被积分函数的不用管了吧
都是
∫∫f(rcosθ，rsinθ）rdrdθ
1.
代入x=rcosθ，y=rsinθ
则，r<=3,则区域边界为r=3.
整个圆，则
0<=r<=3,0<=θ<=2π
2。为一个圆环，根据前一个的结论，可知
1<=r<=2,0<=θ<=2π
代入x=rcosθ，y=rsinθ
则，r^2<=2rcosθ,则区域边界为r<=2cosθ.
从图中，可以看出，最大极角为π/2,最小为-π/2
而θ从（-π/2,π/2)
0<=r<=2cosθ,-π/2<=θ<=π/2

Answer 4

x=rcosθ，y=rsinθ
x^2+y^2=r^2[(cosθ)^2+(sinθ)^2]=r^2
1.
r^2= x^2+y^2<=9
r<=3
∫∫f(x,y）dx dy
= ∫ (0,3)dr ∫ (0,2π) (f(rcosθ，rsinθ）rdθ
2.
1<=x^2+y^2=r^2<=4
1<=r<=2
∫∫f(x,y）dx dy
= ∫ (1,2)dr ∫ (0,2π) (f(rcosθ，rsinθ）rdθ
3.
0<=r^2=x^2+y^2<=2x=2r cosθ
0<=r<=2cosθ,-π/2<=θ<=π/2
∫∫f(x,y）dx dy
= ∫ (-π/2,π/2)dθ ∫ (0,2cosθ )(f(rcosθ，rsinθ）rdr

Answer 5

把θ分成零到四分之派，和四分之派到二分之派，r分成1到1/cos 和根下2到1/sin 就好了