Question

已知y=(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)=0,且x≥0时,f(x)=2x－x^2

已知y=(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)=0,且x≥0时,f(x)=2x－x^2
（1）求x<0时，f(x)的解析式
(2)是否存在这样的正数a，b，当x属于〔a，b〕时，g(x)=f(x)，且g(x)的值域为〔1/b,1/a〕？若存在，求出的a，b值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）
已知：x＞0时,f(x)=2x-x²①

当x＜0时，-x＞0，代入①得：

f（-x）=-2x-（-x）²=-x²-2x

又函数y=f(x)为奇函数，f（-x）=-f（x）=-x²-2x

解得：f（x）=x²+2x

即：当x＜0时，函数y=f(x)的表达式为f（x）=x²+2x

2) f(x)=2x-x^2

x>1单减

X∈[a,b]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1/b 1/a]

g(a)=1/a g(b)=1/b

2a-a^2=1/a

a^3-a^2-a^2+a-a+1=0

(a-1)(a^2-a-1)=0

a1=1 a2=(1+根号5)/2 a3直接舍去

g(a)=1/b g(b)=1/a (a<1 or b<1, the other >1 || a<b<1)

2ab-a^2b=1

2ab-ab^2=1

a^2b=ab^2, a=b 矛盾

所以有一解

a=1 b=(1+根号5)/2

Answer 2

。。。
1. 把x≥0时的表达式中x换为-x就好了嘛。。。x<0时，f(x)=-2x－x^2
2. 2a-a^2=1/b 且 2b-b^2=1/a
或者
2a-a^2=1/a 且 2b-b^2=1/b
解一下方程组就OK

Answer 3

-f(x)=f(-x)，则
x<0时，-x>0
x≥0时,f(x)=2x－x^2
则f(-x)=-2x-(-x)^2=-2x-x^2
则-f(x)=-2x-x^2
f(x)=x^2+2x

定义域为[a,b].值域为[1/b,1/a]
讨论，当a,b>1时，
g(x)=2x－x^2

讨论，当1>a,b>0时，
g(x)=2x－x^2

讨论，当-1<a,b<0时，
g(x)=2x+x^2

讨论，当a,b<-1时，
g(x)=2x+x^2

自己进行分析吧。我把区间都分好了