Question

求柯西不等式的最巧妙的证明方法

不要用构造函数法、数归法、向量法。好象是用基本不等式，但我忘记了！（注意是证一般形式的哦）

Answer 1

设a1b1+a2b2+...+anbn=AB 欲证（a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
即证[（a1^2+a2^2+...+an^2)/AB][(b1^2+b2^2+...+bn^2)/AB]>=1
由基本不等式得ai^2/AB+bi^2/AB>=aibi/AB
叠加易得原不等式成立

Answer 2

貌似是用判别式法最简单了：

设一个函数
f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2（a1b1+a2b2+...+anbn）x+(b1^2+...+bn^2)

那么f(x)=(a1^2x^2-2a1b1x+b1^2)+...+(an^2x^2-2anbnx+bn^2)
=(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2>=0

而f(x)是一个一元二次方程函数，那么方程f(x)=0的判别式△<=0

即（2（a1b1+a2b2+...+anbn））^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)<=0

化简后得：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)>=（a1b1+a2b2+...+anbn）^2 即柯西不等式

等号条件△=0，(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0
x=b1/a1=b2/a2=...=bn/an 即an与bn互相成比例

这样就证明完毕了

Answer 3

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如：两列数
0，1
和
2，3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

Answer 4

两边相减，再抓对凑成完全平方式！因为多个平方的和是一定非负的！所以，就有>=号成立了... ...