Question

初中数学

二次函数y=x2-2x-3 与y轴交于C点（0，-3） 与x轴交与A（-1，0）和B（3，0） （1）在对称轴x=1上是否有一点P 能使P到B,C两点的距离之差最大？若有，请求出P点坐标。若无，请说明理由。 （2）平行与x轴的一条直线叫抛物线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆半径。 谢谢了

Answer 1

（1）存在
先求出点C关于对称轴对称的点D(2,-3)
再连结BD并延长交对称轴于P，此时PB与PC的差最大
理由：
∵C、D对称，
∴PC=PD
∴PB-PC=PB-PD=BD
除点P外在对称轴上任取另一点N，则
NB-NC=NB-ND<BD（三角形任意两边之和小于第三边）
设过B、D两点的直线为y=kx+b
则0=3k+b
-3=2k+b
解得k=3,b=-9
∴y=3x-9
令x=1，则y=-6
∴点P的坐标为（1，-6）
（2）∵M、N两点关于对称轴对称
∴圆心一定在对称上，
设圆的半径为r，
令y=r,则x²-2x-3=r,此时MN=1+根号（r+4)-(1-根号（r+4))=2倍根号（r+4)
∴2倍根号（r+4)=2r
解得r=(1+根号17）/2
令y=-r,则x²-2x-3=-r,此时MN=1+根号（4-r)-(1-根号（4-r))=2倍根号（4-r)
∴2倍根号（4-r)=2r
解得r=(根号17-1）/2