Question

帮忙解答几道微分方程的题.谢了.

1. y'ctgx+y=2 , y(0)=-1
2. (3x+y)dx=(2x+3y)dy
3. y'+[(1-2x)y]/x^2=1
4. y''xlnx=y'
谢谢大家了.
答案及过程谢谢.嫌字打的麻烦可以插图片解答.
谢谢了.
不是.
我这个题不是书上的.

Answer 1

解：1。∵y'ctgx+y=2 ==>y'ctgx=2-y
==>dy/(2-y)=sinxdx/cosx
==>dy/(2-y)=-d(cosx)/cosx
==>ln|2-y|=-ln|cosx|+ln|C| (C是积分常数)
==>2-y=C/cosx
==>y=2-C/cosx
∴原方程的通解是y=2-C/cosx (C是积分常数)
∵y(0)=-1，代入y=2-C/cosx得C=3
∴所求微分方程的特解是y=2-3/cosx；
2。设y/x=u,则y=xu,dy=xdu+udx
∵ (3x+y)dx=(2x+3y)dy
==>(3+(y/x))dx=(2+3(y/x))dy
==>(3+u)dx=(2+3u)dy
==>x(2+3u)du=-(3u²+u-3)dx
==>(2+3u)du/(3u²+u-3)=-dx/x
==>{(6u+1)/(3u²+u-3)+3/√37[1/(u+(1-√37)/6)-1/(u+(1+√37)/6)]}du=-2dx/x
==>ln|3u²+u-3|+3/√37[ln|u+(1-√37)/6|-ln|u+(1+√37)/6|]=-2ln|x|+ln|3C|
(C是积分常数)
==>ln|3u²+u-3|+3/√37ln|u²+u/3-1|=ln|3C/x²|
==>(3u²+u-3)[(u²+u/3-1)^(3/√37)]=3C/x²
==>3(u²+u/3-1)^(1+3/√37)=3C/x²
==>(u²+u/3-1)^(1+3/√37)=C/x²
==>[(y/x)²+(y/x)/3-1]^(1+3/√37)=C/x²
∴原方程的通解是[(y/x)²+(y/x)/3-1]^(1+3/√37)=C/x² (C是积分常数)
3。∵y'+[(1-2x)y]/x^2=0 (应用常数变易法，先解此齐次方程)
==>dy/y=(2x-1)dx/x²
==>ln|y|=ln(x²)+1/x+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx²e^(1/x) (这是齐次方程的通解)
∴设原方程的解是y=C(x)x²e^(1/x)
把它代入原方程整理，得C'(x)=e^(-1/x)/x² ==>C(x)=C+e^(-1/x) (C是积分常数)
==>y=x²[1+Ce^(1/x)]
故原微分方程的通解是y=x²[1+Ce^(1/x)] (C是积分常数)
4。∵ y''xlnx=y'==>xlnxd(y')=y'dx
==>d(y')/y'=dx/(xlnx)
==>d(y')/y'=d(lnx)/lnx
==>ln|y'|=ln|lnx|+ln|C1| (C1是积分常数)
==>y'=C1lnx
==>y=C1∫lnxdx
==>y=C1(xlnx-∫dx) (应用分部积分)
==>y=C1x(lnx-1)+C2 (C2是积分常数)
∴原方程的通解是y=C1x(lnx-1)+C2 (C1，C2是积分常数)

Answer 2

不好意思，过程。。。
我高数学得比较烂，但是会用计算机软件来求解
这里给几个参考答案吧

1.
2-3*cot(x)/(cot(x)^2+1)^0.5

2.
0 {我没有理解你给的方程，我自己把它变成(3x+y)=(2x+3y)y',这个结果应该不对}

3.
exp((1+2*ln(x)*x)/x-1/x)+exp((1+2*ln(x)*x)/x)*C1 {C1为任意常数,exp为e为底数的指数函数e^n}

4.
C1+C2*(ln(x)*x-x) {C1,C2为两个相互独立的任意常数}

Answer 3

我只讲思路，剩下的你自己再算算吧。
1、方程 y'ctgx + y = 2 可以直接分离变量变形如下
（dy/dx）ctgx = 2 - y 然后分离变量 dy/（2 - y）= tanx*dx 剩下的不说了两端积分即可，你自己来吧
2、 很典型的类型，方法令 z = y/x ，然后做变量代换即可，结果如下：（3x + x*z）dx = （2x + 3x*z）（z + xdz），移项化简得 （1/x）dx = [(3z + 2)/(3 - z -3z^2)]dz ,变量已成功分离，两边积分即可
3、直接算不太好分离变量，因此先算这个可分离变量的方程 y'+[(1-2x)y]/x^2 = 0 的通解，然后再计算 y'+[(1-2x)y]/x^2 = 1 的特解 。
y'+[(1-2x)y]/x^2 = 0 分离变量得 (1/y)dy = [（2x - 1）/x^2]dx ，然后两边积分求通解，再利用书上的常数变异法求 y'+[(1-2x)y]/x^2 = 1 的特解即可。
4、利用变量代换即可，令 p = dy/dx ，则方程化为 （dp/dx）xlnx = p ，
然后移项变形得 dp/p = dx/（xlnx），变量已分离了，两边积分求出 p 的表达式之后，再对 p 积分就可以了。
剩下的步骤你自己完成吧。如果到这种程度之后，你仍然不能自己解决的话，我奉劝你还是好好再复习一下不定积分的知识吧。

Answer 4

我有常微分方程的答案！是做这一科的作业么？
问我拿吧！！
我不想敲了！！！