Question

一元二次方程初三竞赛试题

求所有有理数r，使得方程rx^2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整数

要步骤 谢谢

Answer 1

1.当r=0时，原方程为一元一次方程：x-1=0，根x=1为整数，符合题意~

2.当r不=0时，原方程为一元二次方程，不妨设其两根为x1,x2，由韦达定理易知：x1+x2= -(r+1)/r= -1-1/r ==> 1/r=-(x1+x2)。
因为x1,x2为整数，所以x1+x2必为整数，记1/r=N，N为整数。
带入原方程，由公式求出解为：
x1=(sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
x2=(-sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
要x1、x2为整数，首先要sqrt(N^2+6N-3)为整数，即N^2+6N-3=M^2，其中M为整数。从而而N^2+6N-3=(N+3)^2-12=M^2 ==> (N+3)^2-M^2=12 ==> (N+3-M)(N+3+M)=12=1*12=2*6=3*4
所以：
N+3+M=1 And N+3-M=12
N+3+M=12 And N+3-M=1
N+3+M=2 And N+3-M=6
N+3+M=6 And N+3-M=2
N+3+M=3 And N+3-M=4
N+3+M=4 And N+3-M=3
解上面的六个方程组，舍掉M、N不是整数的解得到：
M=2、N=1 或 M=-2、N=1
带入N=1/r得：r=1

综上，r=0或r=1。

Answer 2

答：r=0或r=1

解：
1。当r=0时，原方程为一元一次方程：x-1=0，根x=1为整数，符合题意~

2。当r不=0时，原方程为一元二次方程，不妨设其两根为x1,x2，由韦达定理易知：x1+x2= -(r+1)/r= -1-1/r
因为x1,x2为整数，所以x1+x2必为整数，于是只有r= +(-)1
又当r=-1时，原方程化为x^2= -2，这不可能！
所以r=1，此时方程为：x^2+2x=0，两根x1=0，x2=-2，都是整数，符合题意~

综上，r=0或r=1

Answer 3

rx^2+(r+1)x+(r-1)=0
(1).当r=0:x-1=0,x=1是整数
(2).当r≠0,方程有两根是整数→
△=(r+1)平方-4r(r-1)→r平方-2r+5=(r-1)平方+4>0
方程rx^2+(r+1)x+(r-1)=0有两不等实根,且
-(r+1)/r为整数,(r-1)/r是整数→
-1-1/r是整数,1-1/r是整数→1/r=是整数n
∴r=1/n(n是整数)
综上:
r=0或r=1/n(n是整数)

Answer 4

若r=0，x=1,符合题意
若r不等于0
由韦达定律x1+x2=-(b/a) x1*x2=c/a得

x1+x2=-(r+1)/r=-1-1/r，x1*x2=(r-1)/r=1-1/r

根是整数，所以1/r也是整数。
由判别式大于等于0得
(r+1)^2-4r*(r-1)>=0,

Answer 5

答案正确！