Question

高中数学必修一，求最值问题

已知函数f(x)=-x²+2x.
（1）证明f(x)在[1,+∞)上是减函数；
（2）当x∈[-5,2]时，求f(x)的最大值和最小值。

请给出详细解答过程，谢谢！

Answer 1

解（1）f(x)=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x²-2x+1-1）=-（x-1）²+1
f（x）是二次函数，开口向下，顶点坐标为（1，1）对称轴为x=1
由图像可知：在对称轴右侧单调递减.所以f(x)在[1,+∞)上是减函数
（2）x∈[-5,2]所以x能取到1，所以最大值为1（顶点坐标为（1，1），顶点是最高点）最小值是当x=-5时，f（-5）=-35

Answer 2

(1)取1<=x1<x2
f(x1)-f(x2)=-x12+2x1-(-x22+2x2)=x22-x12+2(x1-x2)=(x2+x1)(x2-x1)-2(x2-x1)=(x2-x1)(x2+x1-2)
because 1<=x1<x2
so x2-x1>0 x2+x1-2>0
so f(x1)>f(x2)
so f(x)在。。。上时减函数。

（2）由-2/-2=1属于[-5,2]得，在[-5,2]上f(x)有最大值[f(x)]max=f(1)=1
因为x=-5离对称轴x=1较远，所以，在[-5,2]上f(x)有最小值[f(x)]min=f(-5)=-35