Question

请教各位高手一个奥数问题，谢谢帮忙！

有10个互不相等的自然数，每个都不大于25，则这10个自然数两两相减的差中，至少有多少个数相等

Answer 1

解:设这个自然数是a1^b1*a2^b2*…*an^bn
那么它的3次方就是a1^(3b1)*a2^(3b2)*……an^(3bn)
其约数个数为(3b1+1)(3b2+1)……(3bn+1)=100
我们现在希望(b1+1)(b2+1)…(bn+1)取最小值
100=4*25
此时b1=1
b2=8
(b1+1)(b2+1)=18
2)100=10*10
此时b1=b2=3
(b1+1)(b2+1)=16
因此这个自然数本身最少有16个约数

Answer 2

至少有3个数相等，
至少有3个数相等的是个自然数举例：1、2、3、4、7、9、13、16、20、25
假如有至少2个数相等的，
前三个数是1,2，3，由于最多只有两个差相等，推算如下
1,2,3,5,8,12,17,23，下一个数就要大于25了，所以至少有3个数相等

Answer 3

21个
首先10个数两两相减，一共有45个差（含相同的）。
设一个不大于25的自然数X，根据X的取值不同，可知X与不大于25的自然数之差最多有24种不同的差（X=1或X=25时）
所以相同的差最少有45-24=21个