Question

怎样解这道线性代数的题

A 是一个3阶矩阵，A矩阵的平方为E,且A不等于正负E,证明：（R(A+E)-1) (R(A-E)-1)=0

Answer 1

A^2=E
(A+E)(A-E)=0
所以R(A+E)+R(A-E)小于等于3（书上定理）
而R(A+E)+R(A-E)=R(E＋A)+R(E-A)大于等于R(E＋A＋E-A)＝R(2E)＝3
这样R(A+E)+R(A-E)=3
又A不等于正负E,所以R(A+E）≠0，R(A-E)≠0
故若R(A+E)=1则R(A-E)=2
或者R(A+E)=2，则R(A-E)=1
所以：（R(A+E)-1) (R(A-E)-1)=0

Answer 2

A^2=E
(A+E)(A-E)=0
(A+E)+(A-E)=2A
R((A+E)+(A-E))=3=R(A+E)+R(A-E)
A不等于正负E,R(A+E)≠3,0，R(A-E)≠3,0

R(A+E)=1，R(A-E)=2或者R(A+E)=2，R(A-E)=1
所以：（R(A+E)-1) (R(A-E)-1)=0