Question

正项级数un不是1/n的高阶无穷小,但un收敛。

正项级数un不是1/n的高阶无穷小,但un收敛。谁能给我构造一个这样的级数。我认为nun（n趋于无穷）不存在，构造不出来啊！！！
un是正项级数

Answer 1

n*u_n发散到无穷是不可能的，否则的话用比较判别法就知道\sum u_n也发散。

有这样一个结论：
若u_n非负且单调递减，\sum u_n收敛，那么n*u_n->0
从p-级数的角度看这个结论很直观。

但是如果没有单调性的条件，u_n确实可能不是1/n的高阶无穷小，因为某些子列会影响到n*u_n的收敛性。
比如：u_{n^3}=1/n^2，其余项为0，那么n*u_n无界。

Answer 2

简单啊！

(1/n)*（-3）^n/(3^n+(-2)^n)明显不是1/n的高阶无穷小……

这个就是典型的啊，需要从性质出发，化为两个级数的代数和，分别判断敛散性~