Question

初中几何难题求解

D,E为等腰三角形ABC两腰AB,AC上的点，CD,BE交于点P且PB>PC，求证PD>PE
来源：初中联赛

Answer 1

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC,

∵PB＞PC，∴∠2＞∠1；

∵⊿BCD中，∠3=180°-∠ABC-∠2，⊿BCE中，∠4=180°-∠ACB-∠1，∴∠4＞∠3.。

过B、C、E三点作圆，那么D点在圆外，线段CD与圆相交，记交点为F，如图，

弦BE与CF相交于P,满足PB*PE=PC*PF,或PB/PC=PF/PE,

比例式中，∵PB＞PC.∴PF＞PE；而PD＞PF,∴PD＞PE.。

Answer 2

依据三角形的性质有∠BEC=∠A+∠DBE, ∠BDC=∠A+∠DCE
因为△ABC为等腰三角形，所以∠B=∠C,因为PB＞PC,所以∠EBC＜∠DCB
由此可推出∠DBE＞∠DCE,
所以联系第一和第二个式子，有∠BEC＞∠BDC
此时在PB上取一点M，使得PM=PC，显然有∠BPC＞∠PEC＞∠BDC
所以PD上必然存在一点N，使得∠MNP=∠PEC,此时有△PMN≌PCE
因为N在PD上，所以PD＞PN=PE
证毕

Answer 3

用面积算算吧
S△DCB和S△BEC
这两个三角形的底相同，高就只和D,E两点有关了
【这水平就是竞赛题】

Answer 4