Question

已知函数f(x)=(x-a)lnx,a属于R. 若函数f(x)在（0，正无穷）上为增函数，求a的取值范围.

Answer 1

函数f(x)=(x-a)lnx
求导得到f‘（x）=lnx+（x-a）/x
函数f(x)在（0，正无穷）上为增函数
故lnx+（x-a）/x>=0恒成立
a<=xlnx+x恒成立
令F（x）=xlnx+x 求导得到F’（x）=lnx+2
当x=e^2时，函数有最小值
得到a<=3e^2

Answer 2

f(x)=(x-a)lnx
f'(x)=lnx+1-a/x
f'(x)>0 (x>0)
求f‘（x）在0到无穷上的最小值让他大于等于0就行了

f’‘x=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2
a>0是 f‘x最小值是f’（x_0）=-无穷 所以a不可大于0
a=0时f‘x最小值是f‘（x=0）=-无穷 所以a不可等于0
a<0时f‘x最小值f‘（x=-a）=2+ln（-a）

ln（-a）>=-2时f（x）在0～无穷上递增
换句话说-a>=e^(-2)
a<=-1/e^2