Question

求解数列

已知等差数列前5项和Sn=35，a1+1 a3+1 a7+1成等差

1.求数列an的通项公式
2.令bn=a^an a大于0 求bn的前n项和和Sn

Answer 1

解：
原题应为 a[1]+1, a[3]+1, a[7]+1成等比数列吧，因为{an}为等差数列，除非共差为零，
否则a1+1 a3+1 a7+1 不可能成等差，以下按三者等比求解；

1、设等差数列{a[n]}公差为d,
则 S5 = a[3]*5 ==> a[3] =7
因此：
a[1] = a[3] - (3-1)d = 7-2d；
a[7] = a[3] + (7-3)d = 7+4d；
a[1]+1, a[3]+1, a[7]+1成等比数列，因此;
(a[3]+1)^2 = (a[1]+1)(a[7]+1)
==> 64 = (8-2d)(8+4d)
==> 8d(d-2) = 0 ==> d=0 或 d=2；
公差不为0，因此d=2
a[1] = a[3]-2d = 3，通项为：
a[n] = 3+(n-1)*2 = 2n+1；

2、若 b[n]=a^a[n]，则：
b[n] = a^(2n+1)，为等比数列，设公比为q，则：
b[1] = a^a[1] = a^3；
q = b[n+1]/b[n] = a^2
前n项和为：
S[n] = b[1](1-q^n)/(1-q)
= a^3 *(1-a^(2n))/(1-a^2)