Question

定义在R上的奇函数满足f(x+1)=-f(1-x),当x∈(0,1)时,f(x)=log1/2(1-x),则f(x)在(1,2)上

A.是减函数，且f(x)＞0 B.是增函数，且f(x)＜0 C.是减函数，且f(x)＜0 D.是增函数，且f(x)＞0

Answer 1

我先说思路，要知道f(x)在(1，2)上的性质，就要先知道在此区间的表达式，已知在(0，1)上的表达式就一定能用已知表达式推出，要利用函数的周期性，f(x 1)=-f(x-1)=f(1 x)，所以易知T=2，然后画个简图很容易就能看清，首先可画出(0，1)的函数图像，然后根据奇函数性质，原点对称可得(-1，0)，由于周期是2，所以(-1，0)上的图像与(1，2)图像是一样的。此题得解。

Answer 2

选A,
f(x)关于1对称，根据条件得x在(0,1)上f（x）>0且递增，所以选A

追问

能否详细一点？

追答

f(x+1)=-f(1-x)推出f(x)=-f(2-x)=f(x-2),f(x)=f(x+2),所以f（x）以2为周期，又f(x)是奇函数，所以在（-1,0）上小于0，且递增，于是f(x)在（1,2）上也是小于0且递增，选B，上面是错的

追问

f(x+1)=-f(1-x)推出f(x)=-f(2-x)=f(x-2),f(x)=f(x+2),这个是为什么

追答

令x+1=t,则x=t-1,所以f(t)=-f(2-t)
由奇函数-f(2-t)=f(t-2),所以f(t)=f(t-2)
令t-2=x,则f(x)=f(x+2)