Question

f(x)=[(x-a）²]/(lnx)有三个极值点x1、x2、x3,其中x1<x2<x3

求证：x1+x3>2/（根号e）

Answer 1

f'(x) = (2(x-a)ln(x)-(x-a)²/x)/(ln(x))² = (x-a)(2x·ln(x)-x+a)/(x(ln(x))²).
设g(x) = 2x·ln(x)-x, 则f'(x)的零点必须满足x = a或g(x) = -a.
由已知f(x)有三个极值点, 因此g(x) = -a至少要有两个解.
而由g'(x) = 2ln(x)+1, 可知g(x)在(0,1/√e]与[1/√e,+∞)分别严格单调递减和递增.
因此g(x) = -a在(0,1/√e)与(1/√e,+∞)中恰好各有一解, 分别记为u, v.

设h(x) = g(1/√e-x)-g(1/√e+x), 可算得h'(x) = -2ln(1-ex²),
知h(x)在[0,1/√e)严格单调递增, 从而对0 < x < 1/√e成立h(x) > h(0) = 0.
即g(1/√e-x) > g(1/√e+x)对0 < x < 1/√e成立.
特别的, 代入x = 1/√e-u得-a = g(u) > g(2/√e-u).
由2/√e-u, v ∈ (1/√e,+∞), 且g(2/√e-u) < -a = g(v), 根据g(x)单调性可知2/√e-u < v.
故u+v > 2/√e.

若0 < a < 1, 由g(a) = 2a·ln(a)-a < -a, 根据g(x)的单调性可知u < a < v.
因此x1 = u, x3 = v. 于是x1+x3 = u+v > 2/√e, 结论成立.
若1 ≤ a, 有a ∈ (1/√e,+∞), 再由g(a) = 2a·ln(a)-a ≥ -a, 根据g(x)的单调性可知u < v ≤ a.
因此x1 = u, x3 = a. 于是x1+x3 = u+a ≥ u+v > 2/√e, 结论同样成立.
而若a ≤ 0, 则a不在f(x)的定义域内, f(x)至多只有两个极值点, 与条件不符.
综上, 在题目条件下, 总成立x1+x3 > 2/√e.

注1: 实际上可由题目条件限定a的取值范围为(0,1)∪(1,2/√e),
不过对本题来说可以不用讨论的这么详细, 只限制到a > 0就够了.
注2: u+v > 2/√e的证明也许看上去比较莫名, 实际上背景是g(x)的图像的一个性质:
从最小值点x = 1/√e分别向左右运动相同距离时, 向左的增长比向右快.
因此, 为了使g(u) = g(v), 向右运动的距离v-1/√e需要比向左移动的距离1/√e-u大.
把上述几何描述用辅助函数和求导严格化, 就得到了上面的证明.