Question

设f（x）在（a，b）上连续，且当X趋于a＋时f（x）的极限为负无穷，当X趋于b＋时f（X)的极限为负无穷，证

设f（x）在（a，b）上连续，且当X趋于a＋时f（x）的极限为负无穷，当X趋于b＋时f（X)的极限为负无穷，证明f（X）在（a，b）上有最大值？？？

Answer 1

　　由条件，对某 M>0，存在 η>0 (η<(b-a)/2)，使得当 x∈(a, a+η)∪(b-η, b) 时，有
　　　　f(x) < -M，
于是，由f(x)∈C[a+η, b-η]，据闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x) 必在 [a+η, b-η] 上取得最大值 C，因此，f(x) 在(a, b) 上的最大值为
　 　max{-M, C}。