Question

如图,△ABC中,已知∠B=60°,D为BC上一点,且AD=AC求证（1）BC+BD=AB（2）∠BAC+∠BAD=60°

求证（1）BC+BD=AB（2）∠BAC+∠BAD=60°

Answer 1

延长BC至E，连接AE，使∠E=60°。作AG⊥BC。

在△ABE中，∠B=∠E=60°，∴AB=AE（底角相等，两边相等），∠BAE=60°。

∴△ABE是等边三角形，AB=AE=BE。

在△ABG和△AEG中，∠B=∠E=60°，∠AGB=∠AGE=90°，AB=AE，AG=AG，

∴△ABG≌△AEG，BG=EG，∠BAG=∠EAG=30°

在△ADG和△ACG中，∠ADG=∠ACG，∠AGD=∠AGC=90°，AD=AC，AG=AG，

∴△ADG≌△ACG，DG=CG，∠DAG=∠CAG

由于  BG=EG，DG=CG，∴BD=CE。

由于  AB=BE，BE=BC+CE，CE=BD，∴AB=BC+BD。

 

（2）

已证：∠BAG=∠EAG=30°，∠DAG=∠CAG，∴∠BAD=∠EAC。

已证：∠BAE=60°，∴∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠EAC=∠BAE=60°

Answer 2

因为AD=AC,所以∠ADC=∠C.
∠BAC+∠BAD=(∠BAD+∠DAC)+∠BAD
=2∠BAD+∠DAC
因为∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠BAD+∠B=∠ADC，
因此∠BAD=∠ADC-∠B
因为∠DAC=180°-2∠ADC
所以2∠BAD+∠DAC=2（∠ADC-∠B）+（180°-2∠ADC）
=180°-2∠B
=60°
第一题还没算出来，先给你第二问答案

Answer 3

您好，(1)延长DC到E使CE=BD，连接AE，
因为AD=AC，所以∠ADC=∠ACD
所以∠ADB=∠ACE
在三角形ABD和三角形AEC中，
AD=AC,∠ADB=∠ACE，BD=EC
所以三角形ABD全等于三角形AEC，
所以AB=AE
所以∠AEB=60°,所以三角形ABE为等边三角形
所以BC+BD=BC+CE=BE=AB
(2)由于已经证明三角形ABD全等于三角形AEC所以∠BAD=∠EAC
所以∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠EAC=∠BAE=60°

Answer 4

证明：

追答

(1)作∠BDE=60°，
AE//BC，AE∩DE=E
DE∩AB=F，
∵∠B=60°
∴∠AED=60°=∠B
=∠BAE
即△BDF，△AEF为等边三角形
∴BF=BD，AE=AF①
∵AD=AC
∴∠C=∠ADC=
∠B+∠BAD=∠DAE
∴△ADE≌△CAB
(AAS)
∴AE=BC②
AB=AF+BF=BD+BC

(2) ∵AD=AC，∴∠ADC=∠C
∠BAC ∠BAD=2∠BAD ∠DAC
∠BAD ∠ADC=∠B
∴∠DAC 2∠ADC=180°
∴2∠BAD ∠DAC
=2(∠ADC-∠B) (180°-2∠ADC)
=180°-2∠B
=60°