Question

试确定常数A、B、C的值,使得 e^x * (1+Bx+Cx^2)=1+Ax+ο(x^3),其中ο(x^3)是当x→0时比x^3高阶的无穷小

有这么个答案
(e^x)*(1+Bx+Cx^2)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3))*(1+Bx+Cx^2)=1+(1+B)x+(1/2+B+C)x^2+(1/6+B/2+C)x^3+o(x^3)=1+Ax+ο(x^3)
所以，有1+B=A，1/2+B+C=0，1/6+B/2+C=0
解得：A=1/3，B=-2/3，C=1/6

但小弟第二个等号看不懂 求教

Answer 1

第二个等号是(1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3))*(1+Bx+Cx^2)=1+(1+B)x+(1/2+B+C)x^2+(1/6+B/2+C)x^3+o(x^3), 它是通过展开括号算出来的. 其中, 先不看等号左边的o(x^3)部分, 将得到等号右边的除了o(x^3)以外的部分. 然后, o(x^3)乘以(1+Bx+Cx^2)得到o(x^3), 这是因为
o(x^3)*1=o(x^3),
o(x^3)*Bx=o(x^4),
o(x^3)*Cx^2=o(x^5),
o(x^3)+o(x^4)+o(x^5)=o(x^3).
注意, 凡是带小o符号的等式中的等号跟常规意义下的等号的意思不同: 它只能从左往右看, 不能从右往左看. 也就是说, 如果f和g中有小o符号, 那么f=g跟g=f是两回事. 并且, o(x^3)不能看做一个具体的数或变量, 所以不能消去.