Question

求定积分0到a根号(a平方-x平方)

求定积分0到a 根号(a平方-x平方),这里A大于0时我会做，然后我问老师为什么A小于0不考虑，他说A小于0答案是一样的，我做出来明明是（－A平方pai／4），是相反的．求解释和详细过程，万分感谢．
能不能用定积分的几何意义来做来解释一下A大于0和A小于0的不同的情况

Answer 1

答：
∫√(a²-x²)dx 设x=asint，-π/2<=t<=π/2
=∫acostd(asint)
=a²∫cos²tdt
=(a²/2)∫(1+cos2t)dt
=(a²/2)(t+sin2t/2)
=(a²/2)(t+sintcost)
=(a²/2)[arcsin(x/a)+(x/a²)√(a²-x²)]
=(a²/2)arcsin(x/a)+(x/2)√(a²-x²)
=πa²/4+0-(0+0)
=πa²/4

追问

能不能用定积分的几何意义来做来解释一下A大于0和A小于0的不同的情况

追答

y=√(a²-x²)

y^2=a^2-x^2
x^2+y^2=a^2
a>0是在第一象限圆曲线积分，面积为四分之一圆面积
a<0是在第二象限圆曲线积分，面积也是四分之一圆面积

追问

但是a小于0时难道不应该是积分0到a=负的积分a到0才有几何意义，然后是负的那个面积吗?这里哪错了？

追答

检查正负号，别钻牛角尖，积分没有什么有意义无意义的说法。在定义域内积分看面积，面积看象限；一二象限为正，三四象限为负

追问

不是钻牛角尖，刚学还不会算。a小于0是0到a的积分，相当于积回去，不是也应该在前面加个负号吗？请你正面回答，我用了这2个运算的性质，到底是哪里出了错?

追答

无需理会积分上下值的正负，最后代入即可。e

无需理会积分上下值的正负，最后代入即可。如果你知道代元：a=-t，则dx=d(-t)，别忘了这里有个负号。