Question

在数列{an}中，a1等于1，an加1等于2an加2的n次方，设bn等于2的n减1次方分之an.证

在数列{an}中，a1等于1，an加1等于2an加2的n次方，设bn等于2的n减1次方分之an.证明：数列{bn}是等差数列

Answer 1

a(n+1) = 2a(n) + 2^n,

a(n+1)/2^n = 2a(n)/2^n + 1 = a(n)/2^(n-1) + 1,
{a(n)/2^(n-1)}是首项为a(1)=1,公差为1的等差数列。
a(n)/2^(n-1) = 1 + (n-1) = n,
a(n) = n*2^(n-1).

b(n) = a(n)/2^(n-1) = n = 1 + (n-1).
{b(n)}是首项为b(1)=1,公差为1的等差数列。

追问

求数列{an}的前n项和

追答

s(n) = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n) = 1*1 + 2*2 + 3*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-2) + n*2^(n-1),

2s(n) = 1*2 + 2*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-1) + n*2^n,

s(n) = 2s(n) - s(n) = -1*1 - 1*2 - 1*2^2 - ... - 1*2^(n-1) + n*2^n

= n*2^n - [1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1)]

= n*2^n - [2^n - 1]/(2-1)

= n*2^n - 2^n + 1

= 1 + (n-1)2^n

Answer 2

bn=an/2^(n-1)
得an=bn*2^(n-1)
a(n-1)=b(n-1)*2^(n-2)由an=2a(n-1)+2^(n-1),
得bn*2^(n-1)=2*b(n-1)*2^(n-2)+2^(n-1)
同除以2^(n-1)得：bn=b(n-1)+1
b1=a1/2^(1-1)=a1=1
则{bn}是首项为1，公差为1的等差数列。