Question

高中数学：函数f(x)的定义域D=｛x｜x≠0｝且满足对任意x1,x2∈D.有f(x1･x2)=f

高中数学：函数f(x)的定义域D=｛x｜x≠0｝且满足对任意x1,x2∈D.有f(x1･x2)=f(x1)＋f(x2)
(1)求f(1),f(－1)的值。
(2)判断f(x)的奇偶性并证明
(3)如果f(4)=1,f(3x＋1)+f(2x－6)≤3,且f(x)在(0,＋∞)上是增函数，求x的取值范围

Answer 1

(1) f(x1･x2)=f(x1)＋f(x2)
f(1*1)=f(1)+f(1)=f(1)
f(1)=0
f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=f(1)=0
f(-1)=0
(2) f(x)的偶函数
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
f(x)为偶函数
（3）f(4)=1,f(3x＋1)+f(2x－6)≤3
f(3x＋1)+f(2x－6)=f[(3x+1)*(2x-6)]≤3=3f(4)=f(4*4*4)=f(64)
f(x)在(0,＋∞)上是增函数,且 f(x)的偶函数
－64≤(3x+1)*(2x-6)≤64
3x^2-8x-35≤0,3x^2-8x-3>=0
-7/3≤x≤5,x>=3或x≤-1/3
-7/3≤x≤-1/3或3≤x≤5

Answer 2

解：1）令x1=1,x2=1 由f(x1･x2)=f(x1)＋f(x2) 得到有f(1)=2f(1) 得f(1)=2或f(1)=0

令x1=-1,x2=-1 由f(x1･x2)=f(x1)＋f(x2) 得到有f(1)=2f(-1) 得f(-1)=1或f(-1)=0

2）若f(1)=2 得f(x･1)=f(x)＋f(1)得到f(x)=f(x)+2（不成立） 此时定义域D=｛x｜x=1或者x=-1｝
非奇非偶函数
f(1)=0 得f(x･1)=f(x)＋f(1)得到f(x)=f(x) 函数f(x)的定义域D=｛x｜x≠0｝
f(x･-1)=f(x)＋f(-1） f(-x)=f(x) 此时函数为偶函数

3）如果f(4)=1，得到f(1)=0
此时函数为偶函数
又因为,f(3x＋1)+f(2x－6)≤3
,f(3x＋1)+f(2x－6)≤f(4)+f(4)+f(4)

,f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)
-64≤(3x＋1)(2x－6)≤64
解得……