高数，幂级数问题
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∵ln(1+t) = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^n/n,
∴ln(1+t)/t = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n.
该幂级数收敛半径为1, 因此在(-1,1)内闭一致收敛,
对x ∈ (-1,1)可逐项积分得f(x) = ∫{0,x} ln(1+t)/t dt
= ∫{0,x} (∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)/n·∫{0,x} t^(n-1) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·x^n/n².
由lim{n → ∞} |x^(n+1)/(n+1)²|/|x^n/n²| = |x|, 根据D'Alembert比值判别法,
|x| > 1时级数发散, |x| < 1时级数收敛 (即收敛半径为1).
当|x| = 1时, 由∑{1 ≤ n} 1/n²收敛可知级数绝对收敛, 从而也是收敛的.
因此级数的收敛域为[-1,1].
(仔细讨论的话, 还可以说明级数在|x| = 1处也收敛到f(x)).
∴ln(1+t)/t = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n.
该幂级数收敛半径为1, 因此在(-1,1)内闭一致收敛,
对x ∈ (-1,1)可逐项积分得f(x) = ∫{0,x} ln(1+t)/t dt
= ∫{0,x} (∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)/n·∫{0,x} t^(n-1) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·x^n/n².
由lim{n → ∞} |x^(n+1)/(n+1)²|/|x^n/n²| = |x|, 根据D'Alembert比值判别法,
|x| > 1时级数发散, |x| < 1时级数收敛 (即收敛半径为1).
当|x| = 1时, 由∑{1 ≤ n} 1/n²收敛可知级数绝对收敛, 从而也是收敛的.
因此级数的收敛域为[-1,1].
(仔细讨论的话, 还可以说明级数在|x| = 1处也收敛到f(x)).
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