Question

如图，已知三角形ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径。∠ACB的平分线CD交圆O于点D，过点D作圆

如图，已知三角形ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径。∠ACB的平分线CD交圆O于点D，过点D作圆O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AC⊥CD于的点E，过点B作BF⊥CD于点F.(1)求证:DP∥AB;(2)试猜想线段AE,EF,BF之间有何数量关系，并加以证明;(3)若AC=6,BC=8,求线段PD的长。

Answer 1

解：（1）由题可得OD⊥PD,∴∠ODP=90° ∵CD是∠ACD的平分线 ∴∠ACD=∠BCD=45° ∴∠AOD=∠BOD=90° ∴DP平行AB（2）∵AE⊥CD,BF⊥CD ∴∠CAE=∠CBF=45° ∠AEC=BFC=90° ∴CE=AE,BF=CF ∵CE+EF=CF ∴AE+EF=BF(3)∵AC=6,BC=8 ∴AB=10 ∴AO=DO=5 过点A作PD的垂线交PD于点Q 则四边形AODQ为正方形 ∴AQ=DQ=5 ∠AQP=90° ∵PD平行AB ∴∠P=∠BAC ∴△AQP相似于△BCA ∴PQ:AC=AQ:BC 8PQ=6×5　　PQ=4分之15 PD=PQ+DQ=4分之35

Answer 2

证明：连接
OD
，

∵
PD
切⊙
O
于点
D
，

∴
OD
⊥
PD
，∠
ODP
＝
90
0
，

∵∠
ACD
＝∠
BCD
，∠
AOD
＝
2
∠
ACD
，∠
BOD
＝
2
∠
BCD
，

∴∠
AOD
＝∠
BOD
＝
2
1
×
180
0
＝
90
0
，

∴∠
ODP
＝∠
BOD
，

∴
PD
∥
AB
。

（
2
）答：
BF
－
AE
＝
EF
，证明如下：

∵
AB
是⊙
O
的直径，

∴∠
ADB
＝∠
ADE
＋∠
BDF
＝
90
0
，

∵
AE
⊥
CD
，
BF
⊥
CD
，

∴∠
AED
＝∠
BFD
＝
90
0
，

∴∠
FBD
＋∠
BDF
＝
90
0
，

∴∠
FBD
＝∠
ADE
，

∵∠
AOD
＝∠
BOD
，

∴
AD
＝
BD
，

∴△
ADE
≌△
DBF
，

∴
BF
＝
DE
，
AE
＝
DF
，

∴

BF
－
AE
＝
DE
－
DF
，

即

BF
－
AE
＝
EF
。

（
3
）∵
AB
是⊙
O
的直径，

∴∠
ACB
＝
90
0
，∴∠
ACD
＝
2
1
∠
ACB
＝
45
0
，

在
Rt
⊿
ACB
中，
AB
2
＝
AC
2
＋
BC
2
＝
100
，

在
Rt
⊿
ADB
中，
AB
2
＝
2AD
2
，∴
AD
＝
5
2
，

在
Rt
⊿
AEC
中，
AC
2
＝
AE
2
＋
CE
2
，∴
AE
＝
CE
＝
3
2
，

在
Rt
⊿
AED
中，
DE
＝
2
2
AE
AD

＝
4
2
，

∴
CD
＝
CE
＋
DE
＝
7
2
，

∵
PD
∥
AB
，∴∠
PDA
＝∠
DAB
，

∵∠
ACD
＝∠
BCD
＝∠
DAB
，

∴∠
PDA
＝∠
ACD
，又∵∠
P
＝∠
P
，

∴△
PAD
∽△
PDC
，

∴
PD
PA
＝
PC
PD
＝
DC
AD
＝
2
7
2
5
＝
7
5
,
∴
PA
＝
7
5
PD
＋
6
，

∴
6
7
5

PD
PD
＝
7
5
,
∴
PD
＝
4
35
。