Question

如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边BC上,且BD=CE,连接AD

,当∠BAD=1/3∠BAC，CF⊥AD，
交AB于点F，点G为垂足，直线EF交直线AD、AC分别于点H、M。（1）猜想△HDE的形状，并证明你的结论。（3）若点D、E在直线BC上，如图2，其他条件不变，试判断△HAM与（2)中△HDE的形状是否相同，说明理由。

Answer 1

解：（1)作FP⊥AC，FQ⊥BC，
1. ∠DAC=30°，∠FCA=60°，
设CP=FQ=BQ=2√(3)a，
则AP=FP=CQ=6a，AC=BC=(6+2√(3))a，
BE=CD=(2√(3)+2)a，QE=2a，FE=4a，
∴∠BEF=60°=∠CDA，
∴△HDE为等边三角形。
(2)相同
方法与（1）类似，∠ADC=90°-∠CAD=30°
所以∠BEF=∠N=∠ADC=30°
所以∠AMH=∠CME=90°-∠BEF=60°=∠CAD
所以△HAM是等边三角形

追问

设CP=FQ=BQ=2√(3)a,老师，这一步我看不懂啊，我们初二没学这样的内容，就学了全等三角形

追答

直角三角形特殊角没学吗？

追问

直角三角形学习了30度角的对应边等于斜边的一半

追答

追问

可能是我没传图的缘故，过点B怎么还能做BC的垂线呢

追答

追问

哦，看明白了

追答

恩~

追问

下一个问题，D、E还在直线BC上，只不过分别在BC 的两侧了，求三角形HAM的形状

追答

方法与（1）类似，∠ADC=90°-∠CAD=30°

所以∠BEF=∠N=∠ADC=30°

所以∠AMH=∠CME=90°-∠BEF=60°=∠CAD

所以△HAM是等边三角形