Question

高等数学:求极限中的a,b的值

答案:a=-1 , b=1/2

这是一道与渐近线有关的题目求过程

Answer 1

解：显然，a≠-1
∵lim(x->∞)[√(x²-x+1)-ax-b]=0 ==>lim(x->∞){[x²-x+1-(ax+b)²]/[√(x²-x+1)+ax+b]}=0
==>lim(x->∞){[(1-a²)x²-(2ab+1)x+(1-b²)]/[√(x²-x+1)+ax+b]}=0
==>1-a²=0..........(1)
==>lim(x->∞){[(1-b²)-(2ab+1)x]/[√(x²-x+1)+ax+b]}=0
==>lim(x->∞){[(1-b²)/x-(2ab+1)]/[√(1-1/x+1/x²)+a+b/x]}=0
==>-(2ab+1)/(1+a)=0..........(2)
∴解方程组(1)与(2)，得a=-1，b=1/2。

追问

看不太懂
一开始写显然a不等于-1 后面又=-1 ?

1-a^2 为什么要=0

-(2ab+1)/(1+a)=0 又是为什么呢?

追答

中间有写错了分子有理化 ，得
√(x^2-x+1)-(ax+b)
=[(x^2-x+1)-(ax+b)^2]/[√(x^2-x+1)+(ax+b)]
=[(1-a^2)x^2-(1+2ab)x+(1-b^2)]/[√(x^2-x+1)+(ax+b)]
使lim(x->∞)[(1-a^2)x^2-(1+2ab)x+(1-b^2)]/[√(x^2-x+1)+(ax+b)]=0
因此由已知可得分子为0则 1-a^2=0 ，1+2ab=0 ，
如果 x→∞ ，则 a>0 ，
解得 a=1 ，b= -1/2 。
如果 x→-∞ ，则 a＜0 ，

a=-1 ，b= 1/2
所以得到结果，之前那个是写错了的，显然是a≠1

Answer 2

因为lim [√(x²-x+1)-(ax+b)]=0
x→-∞
所以有：a<0；(x²-x+1)-(ax+b)²=C（常数）
即a=-1，b=1/2

追问

(x²-x+1)-(ax+b)²=C

这个看不懂呀
怎么来的?
怎么根号直接变了后面那个的平方

追答

根据结论
lim[√(A+C)-A]=0，(C为常数)
A→+∞
可知lim [√(x²-x+1)-(ax+b)]=0时
x→-∞
a<0，(x²-x+1)-(ax+b)²=C（常数）