Question

e的x次方sinx平方积分

Answer 1

求不定积分∫(e^x)sin²xdx

解：原式=(1/2)∫(e^x)(1-cos2x)dx

=(1/2)[(e^x)-∫(e^x)cos2xdx]

=(1/2)[e^x-∫cos2xd(e^x)]

=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-[(sin2x)(e^x)-2∫(e^x)cos2xdx]

=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-(sin2x)(e^x)+2∫(e^x)cos2xdx

移项得(5/2)∫(e^x)cos2xdx=(1/2)e^x-(1/2)(1-cos2x)(e^x)+(sin2x)(e^x)=(1/2)(cos2x+2sin2x)(e^x)

故∫(e^x)cos2xdx=(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)

故原式=(1/2)e^x-(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)+C=[(1/2)-(1/5)(cos2x+2sin2x)]e^x+C

解释

注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

求不定积分∫(e^x)sin²xdx
解：原式=(1/2)∫(e^x)(1-cos2x)dx
=(1/2)[(e^x)-∫(e^x)cos2xdx]
=(1/2)[e^x-∫cos2xd(e^x)]
=(1/2)e^x-(1/2)[(e^x)cos2x+2∫(e^x)sin2xdx]
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫(e^x)sin2xdx
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫sin2xd(e^x)
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-[(sin2x)(e^x)-2∫(e^x)cos2xdx]
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-(sin2x)(e^x)+2∫(e^x)cos2xdx
移项得(5/2)∫(e^x)cos2xdx=(1/2)e^x-(1/2)(1-cos2x)(e^x)+(sin2x)(e^x)=(1/2)(cos2x+2sin2x)(e^x)
故∫(e^x)cos2xdx=(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)
故原式=(1/2)e^x-(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)+C=[(1/2)-(1/5)(cos2x+2sin2x)]e^x+C.

Answer 3

解：原式=(1/2)∫(e^x)(1-cos2x)dx
=(1/2)[(e^x)-∫(e^x)cos2xdx]
=(1/2)[e^x-∫cos2xd(e^x)]
=(1/2)e^x-(1/2)[(e^x)cos2x+2∫(e^x)sin2xdx]
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫(e^x)sin2xdx
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫sin2xd(e^x)
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-[(sin2x)(e^x)-2∫(e^x)cos2xdx]
=(1/2)(1-cos2x)(e^x)-(sin2x)(e^x)+2∫(e^x)cos2xdx
移项得(5/2)∫(e^x)cos2xdx=(1/2)e^x-(1/2)(1-cos2x)(e^x)+(sin2x)(e^x)=(1/2)(cos2x+2sin2x)(e^x)
故∫(e^x)cos2xdx=(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)
故原式=( 1/2)[e^x-(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)]+C=[(1/2)-(1/10)(cos2x+2sin2x)]e^x+C