Question

初中数学竞赛题

已知关于x的方程x⁴-22x²-48x-23=0和a=√2+√3+√6 , b=√2+√3-√6 , c=√2-√3+√6 , d=√2-√3-√6 , 则下列四个结论中正确的是 ( ) .
( A )、a,b满足方程 ，c,d不满足方程
( B )、c,d满足方程 ，a,b不满足方程
( C )、a,d满足方程 ，b,c不满足方程
( D )、b,c满足方程 ，a,d不满足方程

求详细过程，谢谢！

Answer 1

已知关于x的方程x⁴-22x²-48x-23=0和a=√2+√3+√6 , b=√2+√3-√6 , c=√2-√3+√6 , d=√2-√3-√6 , 则下列四个结论中正确的是 ( ) .

解：设x⁴-22x²-48x-23=(x²+ax+b)(x²+cx+d)=x⁴+(a+c)x³+(b+ac+d)x²+(bc+ad)x+bd=0
其中,a+c=0..................(1)
b+ac+d=-22.........(2)
bc+ad=-48............(3)
bd=-23..................(4)
解得a=2√6，c=-2√6，b=1+2√6，d=1-2√6.
故得x⁴-22x²-48x-23=[x²+2(√6)x+1+2√6][x²-2(√6)x+1-2√6]=0
由x²+2(√6)x+1+2√6=0，得x=[-2√6±√(20-8√6)]/2=-√6±√(5-2√6)=-√6±(√3-√2)
即x₁=-√6+√3-√2=-√2+√3-√6；x₂=-√6-(√3-√2)=√2-√3-√6；
由x²-2(√6)x+1-2√6=0，得x=[2√6±√(20+8√6)]/2=√6±√(5+2√6)=√6±(√3+√2)
即x₃=√6+√3+√2=√2+√3+√6；x₄=√6-√3-√2=-√2-√3+√6.
因此只有a，d满足方程。故应选C。