Question

F1,F2分别为双曲线的左右焦点,过点F2做此双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,

F1,F2分别为双曲线X2/A2-Y2/B2=1的左右焦点,过点F2做此双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,满足|MF1|=3|MF2|，求此双曲线的渐近线方程。

Answer 1

过点F2做此双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M

取渐近线y=(b/a)x

tan∠MOF2=b/a

∵MF1-MF2=2a

|MF1|=3|MF2|

∴3MF2-MF2=2a

MF2=a

∵∠F2MO=90°

∴OM=√(c²-a²）=b

在直角三角形OF2M中

tan∠MOF2=a/b

∴a/b=b/a

a=b

∴渐近线为y=±x

方程为x+y=0或x-y=0

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追问

MF1-MF2=2a是错的~

Answer 2

设过F2(c,0)向渐进线y=b/ax作垂线,则有:MF2=|bc/a|/根号(b^2/a^2+1)=(bc/a)/(c/a)=b那么有MF1=3b.MF2的斜率K=-a/b,则MF2的方程是y=-a/b(x-c)与y=b/ax联立解得M坐标是:X=a^2/c,y=b/a*a^2/c=ab/c所以,MF1^2=(a^2/c+c)^2+(ab/c)^2=9b^2a^4/c^2+2a^2+c^2+a^2b^2/c^2=9b^2a^4+2a^2c^2+c^4+a^2b^2-9b^2c^2=0c^2=a^2+b^2代入得:a^4+2a^4+2a^2b^2+a^4+2a^2b^2+b^4+a^2b^2-9a^2b^2-9b^4=04a^4-4a^2b^2-8b^4=0a^4-a^2b^2-2b^2=0(a^2-2b^2)(a^2+b^2)=0即有:a^2-2b^2=0所以有:a^2=2b^2b^2/a^2=1/2b/a=根号2/2所以,渐进线的方程是y=(+/-)b/ax=(+/-)根号2/2 X