△ABC中,D是BC边上的中点,求证AB2+AC2=2(AD2+BD2)
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延长AD到H使AD=DH ，连BH，HC。 ∵D是BC边上的中点，∴BD=DC ∴ABHC是平行四边形。由余弦定理可知：AH²=AB²+BH²-2AB*BH*COS∠ABH ∴（2AD）²=AB²+AC²-2AB*AC*COS∠ABH （ BH =AC COS∠ABC =COS（180°-∠BAC）=-COS∠BAC ） 同理：BC²=AB²+AC²-2AB*AC*C0S∠BAC ∴（2BD）²=AB²+AC²-2AB*AC*C0S∠BAC
=AB²+AC²+2AB*AC*C0S∠ABH
∴4AD²+4BD²=2AB²+2AC² ∴AB2+AC2=2(AD2+BD2)
=AB²+AC²+2AB*AC*C0S∠ABH
∴4AD²+4BD²=2AB²+2AC² ∴AB2+AC2=2(AD2+BD2)
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