Question

求积分题∫dx/(3+sin²x)

好象可以分解成 ∫dx/(2+cosx)+∫dx/(2-cosx) 的形式,可往下还是不会做.

Answer 1

不要那样做，可以用万能置换公式：
因为 3sin²x+3cos²x=3
所以 4sin²x+3cos²x=3+sin²x
∫dx/(3+sin²x)
=∫(cos²x+sin²x)dx/(3cos²x+4sin²x) 上下同除以cos²x
=∫(1+tan²x)dx/(3+4tan²x) 因为dtanx=(1/cos²x)dx, 所以乘以cos²x.
=∫(cos²x+sin²x)dtanx/(3+4tan²x)
=(1/3)∫dtanx/[1+(4/3)tan²x]
=(1/3)arctan[(2/√3)tanx]+C