Question

请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Answer 1

郭敦顒回答：
F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是第一象限内抛物线C上的任一点，过M、F、O三点的圆的圆心为Q，Q到抛物线C准线的距离为3/4，
（1）求抛物线C的方程，
抛物线C的焦点坐标为F（0，p/2），准线：y=－p/2，
∵OF是⊙Q的弦，OF的中点为G，连QG，则QG⊥OF，
G的焦点坐标为（0，p/4），
Q到抛物线C准线的距离=G到抛物线C准线的距离=（3/4）p=2/4，
∴p=1，
∴抛物线C的方程是：x²=2y。
（2）是否存在点M，使得直线QM与抛物线C相切于M？
不存在点M，使得直线QM与抛物线C相切于M。
如果存在切点M，则点Q在抛物线C之外；但OM既是⊙Q的弦，又是抛物线C的弦，所以Q在抛物线C之内（GQ与抛物线C的交点为A，Q在GA间）。Q在抛物线C之内与Q在抛物线C之外相矛盾，所以，不存在点M，使得直线QM与抛物线C相切于M。
（3）若点M的横坐标为√2，直线：y=kx+1/4与抛物线C有两个交点A、B，与⊙Q有两个交点D、E，求当1/2＜k＜2时|AB|²+| DE|²的最小值。
∵点M的横坐标x=√2，代入抛物线C的方程x²=2y，
∴y=x²/2=1，M的坐标为M（√2，1）
连OM，则OM=√（2+1）=√3，OM的斜率k1=1/√2=（1/2）√2，
取OM的中点F，连FQ， F坐标为F（（1/2）√2，1/2），
则FQ⊥OM，FQ的斜率k2=－1/[（1/2）√2]= －√2
FQ的方程按点斜式有：y－1/2=－√2[x－（1/2）√2]= －（√2）x+1，
∴y=－（√2）x+3/2，与GM的方程y=1联立得，
1=－（√2）x+3/2，（√2）x=1/2，∴x=（1/4）√2，
∴Q坐标为Q（（1/4）√2，1），
⊙Q的半径r=OQ=√（1/8+1）=（3/4）√2，
⊙Q的方程是：[x－（1/4）√2] ²+[ y－1] ²=（3/4）√2，
直线：y=kx+1/4与抛物线C：x²=2y联立得，
2x²－kx－1/4=0，
当k=2时，x²－x－1/8=0，x1=1/2+（1/4）√2，x2=1/2－（1/4）√2，
y1=2x+1/4=1+（1/2）√2+1/4=5/4+（1/2）√2
y2=5/4－（1/2）√2
√[（x1－x2）²+（y1－y2）²]=√[1/2+1/2]= ±1
| A B |=1；
当k=1/2时，对于2x²－kx－1/4=0，
x²－x/4－1/8=0，x1=1/8+3/4=7/8，x2=1/8－3/4=－5/8
y1=2x+1/4=2，y2=2x+1/4=－1
√[（x1－x2）²+（y1－y2）²]=√[9/4+9]= ±（3/2）√5
| A B |=（3/2）√5
∴1＜| A B |²＜45/4。

y=kx+1/4与⊙Q的方程[x－（1/4）√2] ²+[ y－1] ²=（3/4）√2联立得，
[x－（1/4）√2] ²+[ kx+1/4－1] ²=（3/4）√2
[x－（1/4）√2] ²+[ kx－3/4] ²=（3/4）√2
当k=2时，
x²－（1/8）x+1/8+4x²－3x+9/16=（3/4）√2
5x²－（25/8）x+11/16－（3/4）√2=0
x1=5/16+0.15174=0.46424，x2=5/16－0.15174=0.16076，
y1=2x+1/4=1.17848，y2=2x+1/4=0.57152，
√[（x1－x2）²+（y1－y2）²]=√[0.0921+0.36838]= √0.46048=±0.6786，
∴| DE|=0.6786；
当k=1/2时，对于[x－（1/4）√2] ²+[ kx－3/4] ²=（3/4）√2，
x²－（1/8）x+1/8+（1/4）x²－3x/4+9/16=（3/4）√2
5x²－（7/2）x+11/4－3√2=0
x1=7/5+0.64887=2.04887，x2=7/5－0.64887=0.75113，
y1=2x+1/4=4.34774，y2=2x+1/4=1.75226
√[（x1－x2）²+（y1－y2）²]=√[1.6841+6.7365]= √8.4206=±2.9018，
∴| DE|=2.9018，
∴0.6786＜|DE|＜2.9018，
∴0.4605＜|DE|²＜8.4204。
∴min（|AB|²+| DE|²）＞1+0.4605=1.4605。