Question

已知椭圆方程是x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-c，0）F2（c,0）

已知椭圆方程是x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-c，0）F2（c,0） 若椭圆上存在一点P 使得c*sin角PF1F2=a*sin角PF2F1 则该椭圆离心率的取值范围是

Answer 1

a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
而由正弦定理知：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以，e=c/a=|PF2|/|PF1|
|PF1|+|PF2|=2a
所以，(e+1)|PF1|=2a
|PF1|=2a/(e+1)
|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
而：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以。2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以，e≥√2-1

椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)