Question

设函数f(x)在【a,b】上有连续函数，且存在c∈(a,b),使f'(c)=0，证明存在ξ∈(a,

设函数f(x)在【a,b】上有连续函数，且存在c∈(a,b),使f'(c)=0，证明存在ξ∈(a,b),使f'(ξ)=(f(ξ)-f(a))/(b-a)

Answer 1

设c为（a，b）中使f'（x）=0的最小的数。因此f'（x）在（a，c）中恒正或恒负。

不妨设f'（x）在（a，c）中恒正

则f（c）>f（a），令g（x）=f'（x）-［f（x）-f（a）］/（b-a），g（x）是连续函数。

而g（a）=f'（a）>0，g（c）=f'（c）-［f（c）-f（a）］/（b-a）=-［f（c）-f（a）］/（b-a）<0。

因此必然在（a，c）中有一点d，使得g（d）=0，于是命题得证。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

设c为(a,b)中使f'(x)=0的最小的数。因此f'(x)在(a,c)中恒正或恒负。不妨设f'(x)在(a,c)中恒正，则f(c)>f(a),令g(x)=f'(x)-[f(x)-f(a)]/(b-a)，g(x)是连续函数。而g(a)=f'(a)>0,g(c)=f'(c)-[f(c)-f(a)]/(b-a)=-[f(c)-f(a)]/(b-a)<0.因此必然在(a,c)中有一点d，使得g(d)=0,于是命题得证