Question

怎么判断复变函数极点的级数？？？

Answer 1

设a为f（z）的极点

1. 可以看a是1/f(z)几阶零点

2. 将f（z）展开为洛朗级数，看负幂项次数最高的是几次

3. 计算lim（z-a）^k f(z)(lim下z→a)若极限为非零常数则a为k阶极点
   

追问

咋看a是f（z）的几阶零点啊

追答

1. 对f（z）求导，到第m阶导数不为0则是m阶零点
   

2. f（z）在a的邻域可以表示成λ（z）（z-a）^k其中λ（z）在该邻域解析且λ（a）≠0，则a是f（z）k阶零点

3. 对f（z）展开成泰勒级数，设第一个系数不为零的项为第k次幂项，则a是f（z）的k阶零点

4. 极限limf（z）/（z-a）^k为非零常数则a是f（z）k阶零点
   

追问

如果 a是f（z）的零点 但在a处不解析咋办

追答

设a是f（z）的极点，因为极点是孤立奇点lim1/f（z）=0（lim下z→a），且根据极点属于孤立奇点，f（z）在a去心邻域解析，1/f（z）在a去心邻域也解析且a是1/f（z）的零点，若在a处不解析说明f（z）不以a为极点，判断是不是极点首先要判断是不是孤立奇点，是孤立奇点就不存在这个问题