Question

一道初二几何题，真的很难，看大家有没办法解决？

如图，AE=AF,BD=DC,求证AB=AC。反证法确实可以解决，但请你直接证明它。可以借用梅涅劳斯定理，三点一线。

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励10（财富值+成长值）+提问者悬赏100（财富值+成长值）

Answer 1

郭敦顒回答：

作系列平行线Ln，作PK⊥Ln，

在PK上确定一点A，则E、F落在Ln中的某一条平行线上；

在PK上存在一点D，使得B、D、F共线，C、D、E共线，A、E、B共线，A、F、C共线，且B、C也落在Ln中的某一条平行线上，连EF，BC，则△AEF与△DBC均为等腰△，

∴∠AEF=∠AFE，

∵BC∥EF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE（平行则同位角相等），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC。

 

2014-9-27完善回答：

这是个类似于伞形结构的图形，只是在伞形中DE=DF且为定值；在这个图形中，BD=CD为定值，而DE=DF虽然可证，但却不是定值。

AQ、AR，BN、CM，PK都是刚性直线，AQ、AR相交于A，A在PK上，为定点，AE=AF为定值，E在AQ上，F在AR上；BD=CD为定值，D在PK上滑动，B在AQ上可滑动，C在AR上可滑动，F在BN上可滑动，E在CM上可滑动。

随着点D在P（A）K上的上下滑动，点B、C，E、F在相应位置上滑动，始终保持B、D、F共线，C、D、E共线，A、E、B共线，A、F、C共线，且BC∥EF，PK⊥BC，PK⊥EF，

（不另绘图形，Q在AB的延长线上，R在AC的延长线上。）

                             P

                                                Ln

                              A

   

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

          M                                N

   

   

 

   

 

                  E                   F 

   

   

 

   

 

    

                            D

   

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

           B                G                C

 

   

 

                             K

追问

第1个证明有几个逻辑错误，而且并不能证明出来，你看看：

1.作系列平行线Ln，作PK⊥Ln，
在PK上确定一点A，则E、F落在Ln中的某一条平行线上
PK⊥Ln，得不出E、F落在Ln中
应该是这样：PK⊥Ln且PK⊥EF，则E、F落在Ln中的某一条平行线上。反例很容易想

2.且B、C也落在Ln中的某一条平行线上
为什么在Ln上，这个并没有证明出来，这个是需要去证的最后结果。

Answer 2

直接证明确有难度！这个是一位老师的证明，不是我做的。虽然也是反证法

追问

谢谢！辛苦了！反证法确实可以，而且有很多条路可反证。但是我想要一个直接的证明，这题真是奇怪，看似好简单，却证不出，肯定有问题！

追答

我上午想通过牛顿定理来证明，后来发现自己证明的有漏洞。放弃了
我再想想吧

Answer 3

用两次塞瓦定理，两个比例式一比即证

追问

你证明成功了？

Answer 4

连接AD,再用你的公式看看

Answer 5

都知道用梅内劳斯定理了，为啥还要问啊！

追问

那是建议，不是知道。所以这题到目前还不知道怎么解决。