徐州市2009-2010学年度高三第三次调研考试数学试题及答案 10
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江苏省徐州市2009-2010学年度高三年级第三次调研考试数学试题
正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．若复数(为虚数单位)为纯虚数，则实数 .
2．已知函数的定义域为集合,为自然数集,则集合中元素的个数为 .
3．若函数
的部分图象如图所示，则的值为 .
4．在矩形中，， ，以边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 .
5．已知向量，且，则 .
6．已知变量满足，则的最大值是 .
7．下面是一个算法的程序框图，当输入值为8时，则其输出的结果是 .
分组 人数 频率
10 0.1
30 0.3
40 0.4
20 0.2
合计 100 1
8．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 .
9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．
10．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
11．在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则此数列的前100项的和 .
12．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 .
13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 .
14．设函数，若且则的取值范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区内.
15．在三角形中，已知，设，
（1）求角的值；
（2）若，其中，求的值.
16．如图，平面平面,△是直角三角形，，四边形是直角梯形,其中,,,
(1)求证：；
(2)求证:.
17．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
18．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；
（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
（3）设调出的员工创造的年总利润的最大值为，在（1）的条件下，试写出的表达式（直接写出结果，不需要给出演算步骤）。
20．设函数（），．
(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
附加题部分
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．（1）求证：是的中点；（2）求线段的长．
B．选修4－2（矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长.
D．选修4—5（不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值；
22．如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.
且，若二面角的余弦值为，求实数的值.
23．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.
（1）求甲经过到达N的方法有多少种；
（2）求甲、乙两人在处相遇的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率.
江苏省徐州市2009-2010学年度高三年级第三次调研考试数学试题及参考答案
正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：
1． ；2． 3；3． ；4． ；5． ；6． 9；7． 2；8． ；
9． ；10． ；11． 299；12． ；13． ；14．
二、解答题：
15．解：（1）由，得
所以，又因为为三角形的内角，所以，
…………………………………………6分
（2）由（1）知：，且，所以
…………………………………………8分
故
＝. …………………………………………14分
16． 证明：（1）因为,且是中点，
所以，又， 所以，
所以四边形为平行四边形，
…………………………………………2分
所以 平面,
且平面,故平面,
…………………………………………6分
(2)因为，所以，
又平面平面，且平面平面,平面,
所以平面, …………………………………………8分
平面，
所以,，
所以平面, …………………………………………12分
平面，
故平面平面. …………………………………………14分
17．解：（1）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以， …………………………………………4分
解得，或，
故所求直线的方程为：或．………………………6分
（2）设，的中点，因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：……………………………10分
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或
所以经过三点的圆必过定点或.…………………………………14分
18．解：（1）因为是等差数列，由，
又因为，所以， ……2分
由，
所以． ……6分
(2)由(1)知，， 所以，
若成等比数列，则，即．……8分
解法一：由， 可得，
所以， ……12分
从而：，又，且，所以，此时．
故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。……16分
解法二：因为，故，即，……12分
从而：，（以下同上）．
19．（1）由题意得：， …………………………4分
即又所以
即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，
所以， 所以，
即恒成立， …………………………………………10分
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以， 又， 所以，
即的取值范围为． …………………………………………14分
（3）=………………………………………………………16分
20．解：（1）因为，所以，令
得：，此时， …………2分
则点到直线的距离为，
即，解之得或．
经检验知，为增解不合题意，故 …………4分
（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故， …………6分
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间， …………8分
故解之得． …………10分
解法二：恰有三个整数解，故，即，…………6分
，
所以，又因为， …………8分
所以，解之得． …………10分
（3）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点． …………12分
设与存在 “分界线”，方程为，
即，
由在恒成立，则在恒成立 ．
所以成立，
因此． …………14分
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：． …………16分
附加题部分
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．（1）求证：是的中点；（2）求线段的长．
（1）证明：利用，可证：
（2）由△FEB∽△BEC，得,∴．
B．选修4－2（矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．
解：由矩阵属于特征值3的一个特征向量为可得＝3，
即； …………………………………4分
由矩阵属于特征值2的一个特征向量为，可得＝（－1），
即 …………………………………………6分
解得 即矩阵 ………………10分
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长.
解：将方程，分别化为普通方程：
， ………(6分)
由曲线的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，
故所求弦长为………(10分)
D．选修4—5（不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值；
解：由柯西不等式可知：
…………………………………………5分
故，当且仅当，即：
取得最小值为…………………………………………10分
22．解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，，，；，，，，，.………2分
设平面法向量为，而，，
所以，可得一个法向量=，………6分
设面的一个法向量为，
则， …………………………8分
即：，又因为点在棱上，所以.……………………………10分
23．解：（1）甲经过，可分为两步：
第一步，甲从经过的方法数为种；
第二步，甲从到的方法数为种；
所以甲经过到达的方法数为种.………………………………2分
（2）由（1）知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.
所以甲、乙两人在处相遇的方法数为＝81；
甲、乙两人在处相遇的概率为.………………………6分
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；
所以：＝164
故甲、乙两人相遇的概率.
答：（1）甲经过到达的方法数为种；
（2）甲、乙两人在处相遇的概率为；
（3）甲、乙两人相遇的概率. ………………………10分
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正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．若复数(为虚数单位)为纯虚数，则实数 .
2．已知函数的定义域为集合,为自然数集,则集合中元素的个数为 .
3．若函数
的部分图象如图所示，则的值为 .
4．在矩形中，， ，以边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 .
5．已知向量，且，则 .
6．已知变量满足，则的最大值是 .
7．下面是一个算法的程序框图，当输入值为8时，则其输出的结果是 .
分组 人数 频率
10 0.1
30 0.3
40 0.4
20 0.2
合计 100 1
8．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 .
9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．
10．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
11．在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则此数列的前100项的和 .
12．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 .
13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 .
14．设函数，若且则的取值范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区内.
15．在三角形中，已知，设，
（1）求角的值；
（2）若，其中，求的值.
16．如图，平面平面,△是直角三角形，，四边形是直角梯形,其中,,,
(1)求证：；
(2)求证:.
17．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
18．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；
（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
（3）设调出的员工创造的年总利润的最大值为，在（1）的条件下，试写出的表达式（直接写出结果，不需要给出演算步骤）。
20．设函数（），．
(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
附加题部分
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．（1）求证：是的中点；（2）求线段的长．
B．选修4－2（矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长.
D．选修4—5（不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值；
22．如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.
且，若二面角的余弦值为，求实数的值.
23．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.
（1）求甲经过到达N的方法有多少种；
（2）求甲、乙两人在处相遇的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率.
江苏省徐州市2009-2010学年度高三年级第三次调研考试数学试题及参考答案
正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：
1． ；2． 3；3． ；4． ；5． ；6． 9；7． 2；8． ；
9． ；10． ；11． 299；12． ；13． ；14．
二、解答题：
15．解：（1）由，得
所以，又因为为三角形的内角，所以，
…………………………………………6分
（2）由（1）知：，且，所以
…………………………………………8分
故
＝. …………………………………………14分
16． 证明：（1）因为,且是中点，
所以，又， 所以，
所以四边形为平行四边形，
…………………………………………2分
所以 平面,
且平面,故平面,
…………………………………………6分
(2)因为，所以，
又平面平面，且平面平面,平面,
所以平面, …………………………………………8分
平面，
所以,，
所以平面, …………………………………………12分
平面，
故平面平面. …………………………………………14分
17．解：（1）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以， …………………………………………4分
解得，或，
故所求直线的方程为：或．………………………6分
（2）设，的中点，因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：……………………………10分
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或
所以经过三点的圆必过定点或.…………………………………14分
18．解：（1）因为是等差数列，由，
又因为，所以， ……2分
由，
所以． ……6分
(2)由(1)知，， 所以，
若成等比数列，则，即．……8分
解法一：由， 可得，
所以， ……12分
从而：，又，且，所以，此时．
故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。……16分
解法二：因为，故，即，……12分
从而：，（以下同上）．
19．（1）由题意得：， …………………………4分
即又所以
即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，
所以， 所以，
即恒成立， …………………………………………10分
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以， 又， 所以，
即的取值范围为． …………………………………………14分
（3）=………………………………………………………16分
20．解：（1）因为，所以，令
得：，此时， …………2分
则点到直线的距离为，
即，解之得或．
经检验知，为增解不合题意，故 …………4分
（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故， …………6分
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间， …………8分
故解之得． …………10分
解法二：恰有三个整数解，故，即，…………6分
，
所以，又因为， …………8分
所以，解之得． …………10分
（3）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点． …………12分
设与存在 “分界线”，方程为，
即，
由在恒成立，则在恒成立 ．
所以成立，
因此． …………14分
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：． …………16分
附加题部分
A．选修4－1（几何证明选讲）
如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．（1）求证：是的中点；（2）求线段的长．
（1）证明：利用，可证：
（2）由△FEB∽△BEC，得,∴．
B．选修4－2（矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．
解：由矩阵属于特征值3的一个特征向量为可得＝3，
即； …………………………………4分
由矩阵属于特征值2的一个特征向量为，可得＝（－1），
即 …………………………………………6分
解得 即矩阵 ………………10分
C．选修4－4（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长.
解：将方程，分别化为普通方程：
， ………(6分)
由曲线的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，
故所求弦长为………(10分)
D．选修4—5（不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值；
解：由柯西不等式可知：
…………………………………………5分
故，当且仅当，即：
取得最小值为…………………………………………10分
22．解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，，，；，，，，，.………2分
设平面法向量为，而，，
所以，可得一个法向量=，………6分
设面的一个法向量为，
则， …………………………8分
即：，又因为点在棱上，所以.……………………………10分
23．解：（1）甲经过，可分为两步：
第一步，甲从经过的方法数为种；
第二步，甲从到的方法数为种；
所以甲经过到达的方法数为种.………………………………2分
（2）由（1）知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.
所以甲、乙两人在处相遇的方法数为＝81；
甲、乙两人在处相遇的概率为.………………………6分
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；
所以：＝164
故甲、乙两人相遇的概率.
答：（1）甲经过到达的方法数为种；
（2）甲、乙两人在处相遇的概率为；
（3）甲、乙两人相遇的概率. ………………………10分
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参考资料： http://wendang.baidu.com/view/36add31fb7360b4c2e3f645d.html
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